 |
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
|
|
|
|
Введем на плоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу 
точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу 
соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число 
(см. рис. 1).
Рис. 1
Таким образом, z одновременно обозначают и комплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексное число 
называется комплексной координатой точки (a; b).
Поскольку при указанном соответствии действительные числа 
изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа 
, называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Комплексное число может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа
,
модуль комплексного числа равен длине вектора 
.
Задача 33. Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:
Решение
Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.
Покажем их.
Рис.2
Задача 34. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны 
и 
соответственно.
Решение
Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда
.
Учитывая, что комплексная координата вектора равна 
, получим 
.
Ответ: 
.
Задача 35. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия:
|
|
|
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
,
е) 
, ж) 
, з) 
, и) 
, к) 
.
Решение
а) 
. Из равенств 
и 
, получаем: 
.
Множество точек – прямая 
(рис. 3).
|
Рис. 3.
б) 
. 
, 
. Следовательно, 
.
Множество точек – верхняя относительно оси OX полуплоскость, включая прямую 
(рис. 4).
Рис. 4.
в) 
. Из равенств 
и 
, получаем: 
.
Множество точек – прямая 
(рис. 5).
Рис. 5.
г) , 
, и . Следовательно, 
.
Множество точек – левая относительно прямой 
полуплоскость, включая прямую 
(рис. 6).
Рис. 6.
д) 
. 
, поэтому 
.
Множество точек – прямая . (рис. 7).
Рис. 7.
е) Если , то условия 
и 
означают, что 
и 
. Множество точек – часть плоскости, ограниченная снизу прямой 
, справа 
, исключая указанные прямые (рис. 8).
Рис. 8.
ж) Если , то 
, и условие означает, что 
, т.е. 
. Множество точек – прямая 
(рис. 9).
Рис. 9.
з) Если , то при условие, что сумма 
отлична от нуля, имеем 
, поэтому 
. Следовательно, 
, откуда получаем уравнение:
, или 
.
Преобразуем его
.
Таким образом, множество точек – это окружность с центром в точке O 
радиуса 
, у которой «выколота» точка 
(рис. 10).
Рис. 10.
и) 
; по условию 
, следовательно, 
.
Множество точек – окружность с центром в начале координат 
радиуса 1.
к) По условию 
, поэтому 
, т.е. 
, 
, 
, 
. Последнее условие означает, что либо , либо 
. В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку 
. Учитывая, что , т.е. что действительная часть комплексного числа 
неотрицательна.
Приходим к выводу: искомое множество точек – положительная полуось Ox с началом в точке 
.
Задача 36. Изобразите на плоскости XOY множество, всех точек 
, удовлетворяющих условию:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
Решение
а) . Для каждого 
число 
равно расстоянию между точкой 
и точкой 
. Поэтому заданному условию 
удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на окружности радиуса 1 с центром в точке 
(рис. 11).
Рис. 11.
б) 
. Для каждого 
число 
равно расстоянию между точкой 
и началом координат. Поэтому условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами 
и 
соответственно (рис. 12).
|
|
|
Рис. 12.
в) 
. Из определения главного аргумента комплексного числа следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 13), образующем угол 
с положительным направлением оси Ох.
Рис. 13.
г) 
. Пусть 
. Тогда данное соотношение перепишется в виде 
или 
.
Отсюда находим: 
, т.е. 
.
Таким образом, 
, и, следовательно, исходному соотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых 
. Такие точки заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрических соображений, учитывая, что ось OX есть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки 
и 
, восстановленный из его середины.
Рис. 14.
д) 
Искомое множество точек есть пересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке 
, и второго квадранта (рис. 15).
Рис. 15.
Задача 37. Докажите, что расстояние между точками и 
равно 
.
Решение
Так как 
, а это и
есть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками 
и 
.
Задача 38. Докажите, что если точка 
не совпадает с точкой 
, то равенство 
задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и 
, и проходящей через его середину.
Решение
Все точки 
, удовлетворяющие равенству 
, равноудалены от точек и 
и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки 
и , и проходящей через его середину. Обратно, все точки этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству 
, следовательно, это равенство является уравнением указанной выше прямой.
Задача 39. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам 
, для которых 
.
Решение
Представим выражение 
в виде разности двух комплексных чисел: 
. Тогда становится ясно, что равенство 
является уравнением окружности с центром в точке 
и радиусом 2.
Неравенству 
удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности 
, тогда неравенству 
соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.
|
|
|
Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: 
, поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16).
Рис. 16.
Задача 40. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию: 
.
Решение
Равенство 
является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств 
, 
, следует равенство 
, а значит, 
, т.е. 
.
Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 17).
Рис. 17.
Задача 41. Изобразите на плоскости комплексные числа 
, удовлетворяющие условию: 
.
Решение
. Следовательно, 
. Таким образом, 
, 
, то
, 
, 
.
Этим числам соответствуют три точки: A (
), B (
) и C (
). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18).
Рис. 18.
Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа 
, удовлетворяющие условию: 
.
Решение
, значит, 
и 
.
Получили две точки: B (
) и C (
) (рис. 19).
Рис. 19.
Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 
.
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: 
и 
. Если 
, где x и y – действительные числа, то получаем следующие неравенства: 
, 
, 
, 
, 
. Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).
Рис. 20.
Задача 44. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 
.
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:
и 
. Если положить 
, то получаем следующие неравенства:
.
Преобразуем его
,
|
|
|
, 
,
Получаем 
.
Искомая область – круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 21).
Рис. 21.
Задача 45. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 
.
Решение
Положим .
Тогда 
, 
.
Неравенство 
при 
равносильно неравенству 
или 
. Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения 
точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 22).
Рис. 22
Задача 46. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: 
.
Решение
Представим число 
как 
. Тогда
;
.
По условию, 
, откуда
; 
;
.
Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(–0,5; 0,5) и радиусом 1. правая часть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рис. 23.
Рис.23.
Задача 47. Из всех чисел 
, удовлетворяющих условию 
, найдите такие, что 
принимает наименьшее значение.
Решение
I способ.
Пусть . Тогда 
.
Уравнение 
задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина 
представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу , до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Из рис. 24 видно, что окружность с центром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина 
принимает наименьшее значение.
Действительно, для точек P и Q значение 
равно длине отрезка AB, а для любой точки N окружности, отличной от P и Q, в силу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN>AB.
|
Рис. 24.
Найдем координаты точек P и Q. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением 
. Решим систему
Так как 
, то перейдем к системе
Уравнение 
имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Q соответствуют числа 
и 
.
II способ. Пусть . Тогда 
(см. I способ);
.
Найдем пары (x; y), для которых достигается минимум функции 
при условии 
. Поскольку функция 
принимает не отрицательное значения при всех допустимых x и y, вместо минимума функции φ можно рассматривать минимум функции
.
Преобразуем последнее выражение к виду
,
так как 
, то 
,
откуда 
.
Произведем замену 
и найдем значение t, для которых достигается минимум функции 
или 
, или после замены 
– те значения p, при которых минимально выражение 
.
Исследуем функцию 
с помощью производной. Имеем 
; 
, если 
, т.е. если 
, а 
. Последнее равенство выполняется при 
.
|
|
|
Нетрудно убедиться в том, что если 
, то 
, т.е. 
убывает, а если 
, то 
, т.е. 
возрастает. При функция 
принимает наименьшее значение.
Значению соответствует 
, при 
. Отсюда, учитывая соотношение , находим 
, 
или 
, 
и получаем окончательный ответ.
Ответ: 
и .
Замечание. Конечно, II способ более трудоемкий, но вместе с тем и более универсальный. В частности, если бы на отрезке AB не нашлось ни одной точки, удовлетворяющей заданному в условии равенству, то решение I способом было бы вообще невозможно.
Задача 48. Изобразите множество точек 
комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 
.
Решение
Представим 
в виде 
и преобразуем заданную дробь:
.
Мнимая часть дроби равна 
.
Неравенство 
равносильно системе
Неравенство 
перепишем в виде 
. Это соотношение задает круг с центром в точке (1; 1) и радиусом 1. Точка (1;0) принадлежит кругу, однако ее координаты не удовлетворяют второму условию системы. Полученное множество изображено на рис. 25.
Рис. 25.
Задача 49. Среди комплексных чисел 
, удовлетворяющих условию: 
, найдите число с наименьшим модулем.
Решение
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексных чисел 
и w величина 
равна расстоянию между точками комплексной плоскости, соответствующими числами 
и w. Точки, соответствующие числам 
, для которых выполняется равенство , равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а, следовательно, образуют прямую 
. Среди точек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1). Она соответствует числу 
– числу с наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.
Ответ: 
.
Задача 50. Пусть M – множество точек 
комплексной плоскости таких, что 
; K – множество точек 
комплексной плоскости вида 
, где 
. Найдите расстояние между фигурами M и K.
Решение
I способ.
Пусть 
; тогда 
, откуда
. Множество точек M комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке O1 (0; 
) и радиусом 0,5.
По условию, 
, т.е. 
. Полагая 
, имеем 
и 
.
Множество K точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в точке O2 (– 
; 0) и радиусом 0,5. Так как окружности M и K не имеют общих точек, то расстоянием между ними (рис. 26) является длина отрезка PN линии центров, т.е. 
.
Рис. 26.
Ответ: 1.
Замечание. Геометрическое обоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто. Действительно, возьмем на окружностях K и M такие точки N1 и P1 соответственно (рис. 27), что 
, 
. Для ломанной O1P1N1O2 и прямой O1O2 выполняется неравенство O1P1+ P1N1+ N1O2 > O1P+ PN+ NO2. Вычитая из обеих частей неравенства сумму радиусов, получаем P1N1 > PN.
Рис. 27.
II способ.
Запишем неравенства 
. Таким образом, 
. Это значит, что расстояние от точек фигуры M до точки O1 (0; 
) постоянно и равно 0,5. фигура M – окружность с центром в точке O1 и радиусом 0,5. Условие 
означает, что множество K получено поворотом точек множества M на угол 
вокруг начала координат, т.е. представляет собой окружность с центром в точке O2 (– 
; 0) и радиусом 0,5. Дальнейшие рассуждения такие же, как при решении I способом.
Задача 51. Найдите наибольший модуль комплексного числа 
, удовлетворяющего условию 
.
Решение
Так как 
, а 
. Это круг с центром в точке A (3; 4) и радиусом 
.
Поскольку OA= 5, 
, имеем 
. Среди точек круга существует точка 
, для которой 
. Это точка пересечения границы круга и продолжения отрезка OA.
Ответ: 6.
Задача 52. Решите систему уравнений
Решение
Так как 
, то 
. Это множество – серединный перпендикуляр к отрезку AB, где A (0; 2), B (0; 4) – точки, соответствующие числам 
и 
. Уравнение этого перпендикуляра есть 
. Из второго уравнения системы имеем 
. Пусть 
, тогда 
. Так как для каждой из искомых точек, то 
; 
. корнями этого уравнения являются числа 2 и – 4. системе уравнений удовлетворяют 2 числа: 
и 
.
Ответ: ; 
.
Задача 53. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию 
.
Решение
Пусть 
, тогда 
и, значит,
, 
. Исходное неравенство перепишется так: 
. Последнее неравенство можно заменить системой двух условий: 
и , или 
и .
Искомое множество изображено на рис. 28. Отметим, что граница множества (прямая 
) принадлежит ему за исключением точки (0; 0).
Рис. 28.
Задача 53. Множество точек комплексной плоскости определяется условие 
. В каких пределах изменяется 
.
Решение
Множество точек, заданное условием , определяется на комплексной плоскости круг с центром в точке 
и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством 
.
Пусть 
, тогда 
, 
, 
. Задача сводиться к определению границ, в которых может изменяться соотношение 
при условии 
. Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях 
система
