Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Введем на плоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу
точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу
соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число
(см. рис. 1).

Рис. 1
Таким образом, z одновременно обозначают и комплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексное число
называется комплексной координатой точки (a; b).
Поскольку при указанном соответствии действительные числа
изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа
, называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Комплексное число
может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа
,
модуль комплексного числа равен длине вектора
.
Задача 33. Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:

Решение
Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.


Покажем их.

Рис.2
Задача 34. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны
и
соответственно.
Решение
Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда
.
Учитывая, что комплексная координата вектора равна
, получим
.
Ответ:
.
Задача 35. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия:
а)
, б)
, в)
, г)
, д)
,
е)
, ж)
, з)
, и)
, к)
.
Решение
а)
. Из равенств
и
, получаем:
.
Множество точек – прямая
(рис. 3).
Рис. 3.
б)
.
,
. Следовательно,
.
Множество точек – верхняя относительно оси OX полуплоскость, включая прямую
(рис. 4).

Рис. 4.
в)
. Из равенств
и
, получаем:
.
Множество точек – прямая
(рис. 5).

Рис. 5.
г)
,
, и
. Следовательно,
.
Множество точек – левая относительно прямой
полуплоскость, включая прямую
(рис. 6).

Рис. 6.
д)
.
, поэтому
.
Множество точек – прямая
. (рис. 7).

Рис. 7.
е) Если
, то условия
и
означают, что
и
. Множество точек – часть плоскости, ограниченная снизу прямой
, справа
, исключая указанные прямые (рис. 8).

Рис. 8.
ж) Если
, то
, и условие
означает, что
, т.е.
. Множество точек – прямая
(рис. 9).

Рис. 9.
з) Если
, то при условие, что сумма
отлична от нуля, имеем
, поэтому
. Следовательно,
, откуда получаем уравнение:
, или
.
Преобразуем его
.
Таким образом, множество точек – это окружность с центром в точке O
радиуса
, у которой «выколота» точка
(рис. 10).

Рис. 10.
и)
; по условию
, следовательно,
.
Множество точек – окружность с центром в начале координат
радиуса 1.
к) По условию
, поэтому
, т.е.
,
,
,
. Последнее условие означает, что либо
, либо
. В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку
. Учитывая, что
, т.е. что действительная часть комплексного числа
неотрицательна.
Приходим к выводу: искомое множество точек – положительная полуось Ox с началом в точке
.
Задача 36. Изобразите на плоскости XOY множество, всех точек
, удовлетворяющих условию:
а)
; б)
; в)
; г)
; д) 
Решение
а)
. Для каждого
число
равно расстоянию между точкой
и точкой
. Поэтому заданному условию
удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на окружности радиуса 1 с центром в точке
(рис. 11).

Рис. 11.
б)
. Для каждого
число
равно расстоянию между точкой
и началом координат. Поэтому условию
удовлетворяют те и только те точки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами
и
соответственно (рис. 12).

Рис. 12.
в)
. Из определения главного аргумента комплексного числа следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 13), образующем угол
с положительным направлением оси Ох.

Рис. 13.
г)
. Пусть
. Тогда данное соотношение перепишется в виде
или
.
Отсюда находим:
, т.е.
.
Таким образом,
, и, следовательно, исходному соотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых
. Такие точки заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрических соображений, учитывая, что ось OX есть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки
и
, восстановленный из его середины.

Рис. 14.
д)
Искомое множество точек есть пересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке
, и второго квадранта (рис. 15).

Рис. 15.
Задача 37. Докажите, что расстояние между точками
и
равно
.
Решение
Так как
, а это и
есть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками
и
.
Задача 38. Докажите, что если точка
не совпадает с точкой
, то равенство
задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки
и
, и проходящей через его середину.
Решение
Все точки
, удовлетворяющие равенству
, равноудалены от точек
и
и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки
и
, и проходящей через его середину. Обратно, все точки
этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству
, следовательно, это равенство является уравнением указанной выше прямой.
Задача 39. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам
, для которых
.
Решение
Представим выражение
в виде разности двух комплексных чисел:
. Тогда становится ясно, что равенство
является уравнением окружности с центром в точке
и радиусом 2.
Неравенству
удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности
, тогда неравенству
соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.
Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям:
, поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16).

Рис. 16.
Задача 40. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию:
.
Решение
Равенство
является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств
,
, следует равенство
, а значит,
, т.е.
.
Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 17).

Рис. 17.
Задача 41. Изобразите на плоскости комплексные числа
, удовлетворяющие условию:
.
Решение
. Следовательно,
. Таким образом,
,
, то
,
,
.
Этим числам соответствуют три точки: A (
), B (
) и C (
). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18).

Рис. 18.
Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа
, удовлетворяющие условию:
.
Решение
, значит,
и
.
Получили две точки: B (
) и C (
) (рис. 19).

Рис. 19.
Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
.
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:
и
. Если
, где x и y – действительные числа, то получаем следующие неравенства:
,
,
,
,
. Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).

Рис. 20.
Задача 44. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
.
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:
и
. Если положить
, то получаем следующие неравенства:
.
Преобразуем его
,
,
,
Получаем
.
Искомая область – круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 21).
Рис. 21.
Задача 45. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
.
Решение
Положим
.
Тогда
,
.
Неравенство
при
равносильно неравенству
или
. Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения
точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 22).

Рис. 22
Задача 46. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам:
.
Решение
Представим число
как
. Тогда
;
.
По условию,
, откуда
;
;
.
Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(–0,5; 0,5) и радиусом 1. правая часть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рис. 23.

Рис.23.
Задача 47. Из всех чисел
, удовлетворяющих условию
, найдите такие, что
принимает наименьшее значение.
Решение
I способ.
Пусть
. Тогда
.
Уравнение
задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина
представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу
, до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Из рис. 24 видно, что окружность с центром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина
принимает наименьшее значение.
Действительно, для точек P и Q значение
равно длине отрезка AB, а для любой точки N окружности, отличной от P и Q, в силу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN>AB.
Рис. 24.
Найдем координаты точек P и Q. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением
. Решим систему

Так как
, то перейдем к системе

Уравнение
имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Q соответствуют числа
и
.
II способ. Пусть
. Тогда
(см. I способ);
.
Найдем пары (x; y), для которых достигается минимум функции
при условии
. Поскольку функция
принимает не отрицательное значения при всех допустимых x и y, вместо минимума функции φ можно рассматривать минимум функции
.
Преобразуем последнее выражение к виду
,
так как
, то
,
откуда
.
Произведем замену
и найдем значение t, для которых достигается минимум функции
или
, или после замены
– те значения p, при которых минимально выражение
.
Исследуем функцию
с помощью производной. Имеем
;
, если
, т.е. если
, а
. Последнее равенство выполняется при
.
Нетрудно убедиться в том, что если
, то
, т.е.
убывает, а если
, то
, т.е.
возрастает. При
функция
принимает наименьшее значение.
Значению
соответствует
, при
. Отсюда, учитывая соотношение
, находим
,
или
,
и получаем окончательный ответ.
Ответ:
и
.
Замечание. Конечно, II способ более трудоемкий, но вместе с тем и более универсальный. В частности, если бы на отрезке AB не нашлось ни одной точки, удовлетворяющей заданному в условии равенству, то решение I способом было бы вообще невозможно.
Задача 48. Изобразите множество точек
комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
.
Решение
Представим
в виде
и преобразуем заданную дробь:
.
Мнимая часть дроби равна
.
Неравенство
равносильно системе

Неравенство
перепишем в виде
. Это соотношение задает круг с центром в точке (1; 1) и радиусом 1. Точка (1;0) принадлежит кругу, однако ее координаты не удовлетворяют второму условию системы. Полученное множество изображено на рис. 25.

Рис. 25.
Задача 49. Среди комплексных чисел
, удовлетворяющих условию:
, найдите число с наименьшим модулем.
Решение
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексных чисел
и w величина
равна расстоянию между точками комплексной плоскости, соответствующими числами
и w. Точки, соответствующие числам
, для которых выполняется равенство
, равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а, следовательно, образуют прямую
. Среди точек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1). Она соответствует числу
– числу с наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.
Ответ:
.
Задача 50. Пусть M – множество точек
комплексной плоскости таких, что
; K – множество точек
комплексной плоскости вида
, где
. Найдите расстояние между фигурами M и K.
Решение
I способ.
Пусть
; тогда
, откуда
. Множество точек M комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке O1 (0;
) и радиусом 0,5.
По условию,
, т.е.
. Полагая
, имеем
и
.
Множество K точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в точке O2 (–
; 0) и радиусом 0,5. Так как окружности M и K не имеют общих точек, то расстоянием между ними (рис. 26) является длина отрезка PN линии центров, т.е.
.

Рис. 26.
Ответ: 1.
Замечание. Геометрическое обоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто. Действительно, возьмем на окружностях K и M такие точки N1 и P1 соответственно (рис. 27), что
,
. Для ломанной O1P1N1O2 и прямой O1O2 выполняется неравенство O1P1+ P1N1+ N1O2 > O1P+ PN+ NO2. Вычитая из обеих частей неравенства сумму радиусов, получаем P1N1 > PN.

Рис. 27.
II способ.
Запишем неравенства
. Таким образом,
. Это значит, что расстояние от точек фигуры M до точки O1 (0;
) постоянно и равно 0,5. фигура M – окружность с центром в точке O1 и радиусом 0,5. Условие
означает, что множество K получено поворотом точек множества M на угол
вокруг начала координат, т.е. представляет собой окружность с центром в точке O2 (–
; 0) и радиусом 0,5. Дальнейшие рассуждения такие же, как при решении I способом.
Задача 51. Найдите наибольший модуль комплексного числа
, удовлетворяющего условию
.
Решение
Так как
, а
. Это круг с центром в точке A (3; 4) и радиусом
.
Поскольку OA= 5,
, имеем
. Среди точек круга существует точка
, для которой
. Это точка пересечения границы круга и продолжения отрезка OA.
Ответ: 6.
Задача 52. Решите систему уравнений

Решение
Так как
, то
. Это множество – серединный перпендикуляр к отрезку AB, где A (0; 2), B (0; 4) – точки, соответствующие числам
и
. Уравнение этого перпендикуляра есть
. Из второго уравнения системы имеем
. Пусть
, тогда
. Так как
для каждой из искомых точек, то
;
. корнями этого уравнения являются числа 2 и – 4. системе уравнений удовлетворяют 2 числа:
и
.
Ответ:
;
.
Задача 53. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию
.
Решение
Пусть
, тогда
и, значит,
,
. Исходное неравенство перепишется так:
. Последнее неравенство можно заменить системой двух условий:
и
, или
и
.
Искомое множество изображено на рис. 28. Отметим, что граница множества (прямая
) принадлежит ему за исключением точки (0; 0).

Рис. 28.
Задача 53. Множество точек комплексной плоскости определяется условие
. В каких пределах изменяется
.
Решение
Множество точек, заданное условием
, определяется на комплексной плоскости круг с центром в точке
и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством
.
Пусть
, тогда
,
,
. Задача сводиться к определению границ, в которых может изменяться соотношение
при условии
. Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях
система