 |
Комплексные числа и параметры
|
|
|
|
«Параметр (от греч. 
- отмеривающий) величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.
Например, уравнение 
, где а > 0, х 
R, y R, задает множество всех концентрических окружностей, с центром (2; 1) радиуса а (рис. 33).
Рис. 33.
Если а = 1, то получим окружность 1), если а = 2, то - окружность 2) и т.д.
Интересно и следующее определение параметра «Неизвестные величины, значения которых задаем мы сами, называются параметрами».
Пусть, например, нужно решить уравнение
. Вряд ли легко мы справимся с этим уравнением, если будем решать относительно x, считая a параметром.
Лучше сначала считать х параметром и решать квадратное относительно а уравнение 
, а затем поменять x и a ролями.
Получим 
Остается решить два уравнения 
что труда уже не составит.
Прежде, чем перейти к решению задач, содержащих комплексные числа и параметр, сформулируем определения основных понятий, связанных с уравнениями (неравенствами) с параметром.
Определение 1. Пусть дано равенство с переменными x и a: 
. Если ставится задача для каждого действительного значения, а решить это уравнение относительно x, то уравнение называется уравнением с переменной x и параметром a.
Параметр обычно обозначается первыми буквами латинского алфавита: а, b, с, d...
Переменная, относительно которой решается уравнение последними буквами латинского алфавита: x, у, z, t, и, v.
Определение 2. Под областью определения уравнения 
с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых 
имеет смысл.
Иногда область определения уравнения устанавливается довольно легко, а иногда в явном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся только системой неравенств, множество решений которой и является областью определения уравнения.
|
|
|
Определение З. Под решением уравнения c параметром a будем понимать систему значений x и a области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство.
Определение 4. Решить уравнение с параметром a - это значит, для каждого действительного значения a найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.
Определение 5. Уравнения и 
равносильны при фиксированном значении а = а0, если уравнения без параметра 
и 
равносильны.
Определение 6. Уравнение 
является следствием уравнения при некотором значении a=а0, если множество решений уравнения содержится среди множества решений уравнения .
Задача 74. Определите семейство линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями:
а) 
; б) 
.
Решение
а) . О.О.У.: 
, 
Решаем уравнение (1).
1) Пусть 
: 
получим уравнение оси абсцисс, исключая начало координат.
2) 
: 
, 
. Это семейство концентрических окружностей с центром в точке 
радиуса 
.
б) 
.
Пусть 
, тогда 
. И 
.
1) Если 
, то полу чаем семейство из двух прямых с уравнениями 
и 
.
2) Если 
, то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями 
, с вершинами в точках 
, 
и асимптотами и .
3) Если 
, то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями
, с вершинами в точках 
, 
и асимптотами и .
Ответ: а) 1. Если , то – уравнение оси абсцисс, исключая точку 
.
2. Если , то – семейство концентрических окружностей с центром в точке радиуса .
б) 1. Если , то – семейство из двух прямых с уравнениями и .
2. Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках , и асимптотами и .
3. Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями 
, с вершинами в точках , 
и асимптотами и .
Задача 75. При каких значениях n верно равенство 
.
Решение
Тригонометрическими формами записи комплексных чисел 
и 
, являются 
и 
.
|
|
|
Возведем в степень n, получим 
и 
.
Тогда:
Ответ: 
Задача 76. При каком значении d 
уравнением 
задана ось ординат в комплексной плоскости, исключая начало координат?
Решение
О.О.У.: 
Пусть 
. Тогда 
.
.
, 
.
Если 
, то получим уравнение 
.
Ответ: .
Задача 77. Среди всех комплексных чисел z таких, что 
, где 
, есть ровно одно число, аргумент которого равен 
. Найдите это число.
Решение
Запишем искомое число в тригонометрической форме:
. Тогда 
и 
.
Перейдем к уравнению 
, где . Получаем квадратное уравнение 
, где , 
.
.
Рассмотрим 2 случая:
1. 
: 
,
. Тогда 
и 
.
2. 
:
.
Введем функцию 
. Интересует случай, когда один из корней квадратного трехчлена больше 0, а другой – меньше 0 (Рис. 34).
Рис. 34.
Достаточно решить систему неравенств: 
Эта система несовместна, поэтому такой случай невозможен.
Ответ: .
Задача 78. При каких действительных значениях a среди комплексных чисел 
таких, что 
, нет ни одного числа, модуль которого равен 2.
Решение
Комплексное число с модулем 
запишется так: 
.
Тогда 
.
Получим уравнение 
.
1.Если 
, то уравнение действительных решений не имеет.
2.Пусть :
Решая систему методом «лепестков» (Рис. 35), видим, что она несовместна.
Рис. 35.
3. 
: 
,
.
Последнее уравнение не имеет корней, если a удовлетворяет системе:
Изобразим графически решение в данных случаях (рис. 36).
Рис. 36.
Ответ: 
.
Задача 79. Для каждого действительного числа a найдите все комплексные числа , удовлетворяющие равенству: а) 
;
б) 
.
Решение
а) Пусть 
, тогда из исходного уравнения имеем 
.
Отсюда получаем систему для нахождения x и y:
из которой следует, что 
. Подставляя это значение x в первое уравнение, имеем 
. Корни этого уравнения действительны тогда и только тогда, когда его дискриминант является действительным числом, т. е. 
. Для этих значений a найдем 
причем 
, то 
. Неравенство 
выполняется для всех a из промежутка 
. Таким образом, исходное уравнение при имеет два корня: 
, 
при 
решений не имеется.
б) Перепишем данное уравнение в виде 
. Так как 
и a – действительные числа, то отсюда заключаем, что число z является чисто мнимым числом.
Пусть 
, тогда из исходного уравнения находим, что 
, т. е. 
.
Последнее уравнение равносильно совокупности двух систем:
|
|
|
Уравнение 
имеет два корня: 
при любом значении a. Неравенству 
удовлетворяет (при любом значении a) только число 
.
Уравнение 
второй системы совокупности имеет действительные решения только при условии 
, т. е. при 
. Корнями этого уравнения при каждом являются числа 
.
Ясно, что при 
оба корня 
и 
меньше нуля, а при 
– больше нуля.
Таким образом, исходное уравнение:
при 
имеет один корень 
;
при имеет три корня 
, 
, 
.
Ответ: а) при 
, то 
, 
б) при , то ;
при , то , , 
.
Задача 80. Для каких действительных чисел a не существует комплексных чисел z, для которых выполняются равенства 
, 
?
Решение
Заметим, что 
равняются расстоянию между точками 
и 
на комплексной плоскости. При фиксированном a точки , для которых , лежат на окружности с центром в 
и радиусом 2. (Вообще, множество , для которых 
, есть окружность с центром в и радиусом 
). Аналогично равенство . Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше суммы или меньше разности радиусов. Таким образом, должно выполняться одно из двух неравенств: 
или 
, т.е. 
или 
.
Ответ: или .
Задача 81. При каких действительных чисел a любое комплексное число, удовлетворяющее уравнению 
, удовлетворяет одновременно и неравенству 
?
Решение
Пусть . Тогда 
и получим уравнение
Если 
, то имеем уравнение окружности с центром в точке 
и
. От неравенства перейдем к неравенству
Рассмотрим ряд случаев в зависимости от значений a.
1. 
, т.е. 
. Неравенство (2) выполняется при любых парах действительных значений x и y, в том числе и при решениях уравнения (1).
2. Пусть 
:
Система решений не имеет.
3.Если , то получим систему
Неравенству системы удовлетворяют все пары значений x и y (
), кроме 
– не является решением уравнения системы.
4.Аналогично убеждаемся, что условию задачи удовлетворяет и 
.
5.Остается рассмотреть следующее множество значений a: 
.
В этом случае 
и неравенство (2) задает множество точек комплексной плоскости, расположенных вне окружности, заданной уравнением 
. (3) (Рис. 37).
Обозначим радиус этой окружности через r (
). И достаточно найти такие значения a из рассматриваемого множества, при которых окружность, заданная уравнением (1), расположена вне окружности с уравнением (3).
|
|
|
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
: 
; 
; ; 
.
Рис. 37.
Получим неравенство 
.
, 
, т.о. 
.
Учтем множество значений a, на котором мы решаем систему (рис. 38):
Рис. 38.
Таким образом, 
.
Ответ: 
.
Задача 82. Найдите все действительные a такие, что система уравнений 
не имеет решений.
Решение
1. Если , то решений нет.
2. При , 
.
3. Если :
Каждое из данных уравнений задает на комплексной плоскости окружность. Пусть О1 и О2 – центры этих окружностей, r1 и r2 – соответствующие радиусы.
Если расстояние между их центрами 
удовлетворяют условиям 
, то окружности имеют хотя бы одну общую точку. тогда получим систему неравенств
Поэтому при 
система решений не имеет.
Ответ: 
.
Заключение
В представленной выпускной квалификационной работе получены следующие результаты.
1) Приведено систематическое изложение вопроса решения задач с комплексными числами.
2) Приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, вычисление операций сложения, вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также изложено правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
3) Решены задачи, посвященные геометрической интерпретации комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости;
4) Рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
5) Приведены решения некоторых уравнений 3-й и 4-й степеней;
6) Решены некоторые задачи содержащие комплексные числа и параметры.
Материал, изложенный в выпускной квалификационной работе может быть использован в учебном процессе в курсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе.
Список литературы
1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В., Егоров А.А., Земляков А.Н., Моркович А.Г. Избранные вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс. – М.: Просвещение, 1980.
2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2000.
3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1975.
4. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975.
5. Беляева Э.С., Потапов А.С. Уравнения и неравенства первой степени с параметром и к ним сводимые. Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2001.
|
|
|
6. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. - М.: Наука, 1971.
7. Вавилов В.В, Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачник по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987.
8. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998.
9. Галицкий М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1989.
10. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2004.
11. Дадаян А.А., Новик И.А. Алгебра и начала анализа. – М.: Просвещение, 1987.
12. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена. / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, И.И. Кулагина. – М.: Дрофа, 2000.
13. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– М.: Просвещение, 1995.
14. Математика в школе. № 3, 1990.
15. Математика в школе. № 6, 1992.
16. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966.
17. Петраков И.С. Математические кружки в 8 – 10 классах. – М.: Просвещение, 1988.
18. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987.
19. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989.
20. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.
21. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
22. Энциклопедический словарь юного математика. (Составитель Савин А.П.). – М.: Педагогика, 1989.
23. Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
|
|
|
