 |
Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений
|
|
|
|
3- и 4-й степени
Рассмотрим решение кубического уравнения
(1)
на конкретном примере.
Пример 1. Решите уравнение
.
Решение. Приведем сначала наше уравнение к уравнению, не содержащему квадрат неизвестной (такое уравнение называется приведенным), т.е. к уравнению вида:
,
для чего произведем подстановку:
Получим уравнение:
.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению:
,
где 
, 
и 
(Замечание.
Переход к приведенному кубическому уравнению можно осуществить с помощью схемы Горнера, разложив многочлен 
по степеням двучлена 
)
Для корней кубического уравнения
(2)
имеется так называемая формула Кардано, хотя правильнее было бы ее называть формулой дель Ферро – Тартальи - Кардано.
Впервые приведенное кубическое уравнение
решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро в конце XV века. Затем в 1535 году те же формулы были выведены Николо Тартальей. Наконец, в 1545 году решение уравнения (1) было изложено в книге Джероламо Кардано "Ars Magna" ("Великое искусство").
Формулы Кардано имеют вид:
, 
где 
– значения радикала
Практически корни 
находятся проще.
Пусть 
– одно (любое) значение радикала u. Тогда два других значения можно найти следующим образом:
;
где e1 и e2 – значения корня кубического из 1, т.е.
Если вычислить 
то получим:
; 
.
Действительно,
Аналогично доказывается равенство 
.
Подставляя полученные значения 
и 
в формулу
, 
находим практические формулы:
;
;
.
В нашем случае:
Таким образом, положим 
. Тогда
следовательно,
, 
, 
.
Из последних равенств, учитывая, что 
получаем:
, 
, 
.
Ответ: ; ; 
.
Для приведенного кубического уравнения
(3)
дискриминант вычисляется по формуле:
|
|
|
.
При этом:
а) если 
, то уравнение (3) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня;
б) если , то уравнение (3) имеет три действительный корня, два из которых равны;
в) если , то уравнение (3) имеет три различных действительный корня.
Таким образом, в любом случае уравнение (3) с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
Рассмотрим решение уравнения 4-й степени методом Феррари на конкретном примере.
Пример 2. Решите уравнение
Решение.
Оставим в левой части уравнения члены, содержащие 
и 
:
.
Дополним левую часть полученного уравнения до полного квадрата:
,
или
(1)
Введем в полный квадрат левой части равенства (1) параметр r:
Откуда с учетом равенства (1) получим:
(2)
Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2) обратился в нуль (т.е. чтобы в правой части равенства (2) также получился полный квадрат).
Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:
;
.
В частности, 
, если 
.
Подставив значение в равенство (2), получим:
,
или
.
Откуда,
,
,
или 
.
Следовательно,
; 
;
; 
Ответ: 
; 
; 
; 
Задача 69. Решите уравнение 
.
Решение
Данное уравнение – приведенное. Здесь 
, 
. Следовательно,
.
Для извлечения кубического корня из комплексного числа 
представим его в тригонометрической форме:
,
поэтому 
, где 
При 
получаем:
.
Значит,
,
поэтому 
.
Следовательно,
, 
, 
.
Ответ: 2; 
; 
.
Задача 70. Решите уравнение 
.
Решение
Положив 
, получаем приведенное уравнение относительно неизвестной переменной y:
.
По формулам Кардано:
.
Легко видеть, что 
.
Следовательно, число 
является одним из значений кубического
корня из комплексного числа 
(тот же результат получается, если применить формулу извлечения корня n-й степени из комплексного числа).
Таким образом, 
, 
, тогда
|
|
|
, 
.
Итак, 
,
,
.
Отсюда находим корни квадратного уравнения:
,
,
.
Ответ: ; 
;
.
Задача 71. Не решая следующие уравнения, определите характер корней каждого их них:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Решение.
а) .
Дискриминант 
, т.е. 
, то уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.
б) .
Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:
(б*). Откуда дискриминант 
, т.е. , то уравнение (б*), а, значит, и (б) имеет три различных действительный корня.
в) .
Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем: 
(в*). Отсюда 
, , то уравнение (в*), а, значит, и уравнение (в) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.
Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженных корня; б) три различных действительный корня; в) один действительный и два комплексно сопряженных корня.
Задача 72. Решите уравнения: а) 
;
б) 
.
Решение.
а) .Переходя к приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки 
, получим уравнение:
, где 
, 
.
Зная, что:
;
;
.
По формулам Кардано:
Таким образом, получаем 
, значит 
, 
, 
, 
.
Следовательно, 
; 
; 
.
Откуда, 
, 
, 
.
б) .
Переходить к приведенному кубическому уравнению не нужно, так как исходное уравнение само является приведенным, причем 
, 
.
Таким образом, получаем: 
, .
Тогда 
, 
, 
, 
.
Следовательно, 
, 
.
Ответ: а) , , ;
б) , .
Задача 73. Решите уравнения: а) 
;
б) 
.
Решение.
а) Преобразуем уравнение (а) по методу Феррари: 
,
,
. (а*)
Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:
Откуда с учетом равенства (а*) находим:
,
(а**).
Теперь подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант
правой части равенства (а**) обратился в нуль.
Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:
;
;
.
В частности, , если 
.
Подставив найденное значение в равенство (а*), получим:
, или 
.
Откуда, 
,
,
или 
.
Следовательно, 
; 
; 
; 
.
б) .
Преобразуем это уравнение по методу Феррари:
,
,
. (б*)
Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:
Откуда с учетом равенства (б*) находим:
(а**).
Подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в правой части равенства (а**) обратился в нуль.
Легко видеть, что дискриминант D равен нулю, если 
. следовательно, подставив значение в равенство (б**), получим:
|
|
|
;
.
Откуда, 
,
или 
.
Следовательно,
; 
; 
; 
.
Ответ: а) 
; 
.
б) 
; 3; 1.
|
|
|
