Графическое решение векторных уравнений

 

Рассмотренные выше векторные уравнения могут быть решены ана­литически или графически. В инженерных расчетах более наглядными и простыми являются графические решения векторных уравнений. Графическое решение векторных уравнений сводится к построению планов скоростей точек механизма, определению их модулей и расчету угловых скоростей звеньев.

Планы скоростей шатуна шарнирного четырехзвенника

 

Рассмотрим уравнение

 

 

Если известна скорость v_B полюса В и направление относительной скорости ν_св (рис. 6), то для определения скорости v_c нужно знать ее направление. Это и будет линия действия скорости ν_св. Вектор скорости v_c будет замы­кающим двух векторов ν_в и ν_св, поэтому он должен выходить из полюса V. Проводим из полюса V линию Vc || (у - у) до пересечения с линией bc в точке с. В результате получим векторный треугольник Vbc, который соответствует векторному уравнению. Стрелку скорости v_B ставим к точке b. Стрелку скорости ν_св направляем к точке c, т.к. происходит сложение векторов ν_в и ν_св. Стрелку скорости v_C направляем к точке С, т.к. вектор v_c является замыкающим, т.е. геометрической суммой векторов ν_в и ν_св.

Длина каждого вектора в миллиметрах на плане скоростей выражает его модуль. Определим числовые значения скоростей

 

v _CB = μ_V · bc

 

Если вектор ν_св перенести в точку С, то шатун 3 будет вращаться против часовой стрелки относительно полюса В. Направляем стрелку вектора ω ₃ влево (рис. 9)

Числовое значение угловых скоростей(рад/с.) определяем по формуле

 

ω ₃ = v_cb / l₃

 

ω₄ = v_C / l₄

 

Для определения скорости точки Е шатуна 3, лежащей в его средине, нужно вектор ее на плане скоростей разделить тоже пополам и его середину е соединить с полюсом. Вектор Ve = v_E, а его числовое значение

v_E = μ_V ·Ve

 

 

Рисунок 9

 

Рассмотрим графическое решение векторного уравнения.

На рис. 9 изображено звено 3 (ВС), а тонкими линиями звенья 2 (АВ) и 4 (CD). Точку В выбираем в качестве полюса, т.к. о ней мы имеем полную информацию: задана угловая скорость звена 2 -ω₂ и радиус кривошипа АВ, равный r₂. По формуле определяем скорость ν_св. Проводим из точки В вектор скорости ν_в АВ. Через точку С проводим пунктирную линию (х - x) BC, соответствующую направлению скорости ν_св, и (у - y) CD, соответствующую направлению скорости v_C.

План скоростей – это векторный многоугольник скоростей. Вначале анализируется исходное уравнение:

 

У вектора ν_в известны модуль и направление (подчёркнут двумя чертами), у вектора ν_св известно только направление (подчёркнут одной чертой). У вектора v_c известно тоже только направление.

Построение плана скоростей начнем с выбора длины вектора скоро­сти ν_в и масштабного коэффициента скорости μ_V. Если ν_в=3,3 м/с, а длина вектора ν_в = 70 мм, то

 

μ_V= v _B (м/с) / v_B (мм) = 3,3 / 70 = 0,047 0,05 (м/с)/мм.

 

Так как масштабный коэффициент округлили, то необходимо уточнить длину отрезка вектора скорости.

На плане скоростей (рис.9) выбираем произвольно положение полюса V и из него перпендикулярно АВ откладываем вектор v_B Получаем точку в в конце вектора. Согласно векторному уравнению к вектору v_B пристраиваем вектор v_CB, о котором знаем только направление. Для этого через точку в проводим линию вс || (х - х) в обе стороны от точки в. Вектор скорости будет замыкающим этих двух векторов и выходить из полюса.

Из полюса перпендикулярно СД проводим линию до пересечения ее с линией вс в точке с. В результате получим векторный треугольник. Длина каждого вектора в миллиметрах на плане скоростей выражает его модуль. Числовые значения скоростей

 

v_cb= μ_V •вс

 

v_c= μ_V •Vс

 

Для определения направления угловой скорости звена 3 необходимо перенести вектор v_cb в точку С. Его направление и покажет направление угловой скорости звена.

Числовые значения угловых скоростей определяются по формулам:

 

ω ₃ = v_cb / l₃

 

ω₄ = v_C / l₄

 

Для определения скорости точки Е, лежащей в середине шатуна, нужно в соответствии с теоремой подобия вектор ВС на плане скоростей также разделить пополам и его середину е соединить с полюсом.

Теорема подобия для планов скоростей звеньев:

Отрезки прямых линий, соединяющие точки одного и того же звена на планах механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на планах скоростей, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры.

 

Планы скоростей кулисного камня

 

Рассмотрим уравнение:

Полюсом является точка В (рис. 7и 10),принадлежащая камню 3. Требуется определить скорость точки В₄. Известны угловая скорость кривошипа 2 и все геометрические размеры механизма. Скорость точки В определяется по формуле

 

.

Направлен вектор скорости перпендикулярно к АВ в сторону вращения кривошипа 2.

Модуль относительной скорости неизвестен, а направлена она вдоль направляющей кулисы х – х

Модуль искомой скорости также неизвестен, а направлена она перпендикулярно к оси кулисы х-х вдоль у -у.

Таким образом, в векторном уравнении неизвестны два модуля и . Векторное уравнение с двумя неизвестными решается графически.

 

(у -у) ║ ║ (х - х).

 

Две черточки обозначают, что известен модуль и направление вектора. Одна черточка- известно только направление вектора х-х или у - у. Построение плана скоростей начнем с выбора масштабного коэффициента и длины вектора .

 

= (м/с) / (мм) (м/с) / мм.

 

Длина отрезка на чертеже обычно берется в пределах 50….70 мм. После уточнения длины вектора скорости

 

Vв = /

 

выбираем положение полюса V, из не­го откладываем вектор перпендикулярно АВ. Получаем точку В в конце вектора.

Согласно векторному урав­нению к вектору пристраиваем линию действия вектора . Вектор есть замыкающий векторов и , поэтому из полюса V проводим линию дейст­вия вектора параллельную (у- y) до пересечения с х - х в точке В4. В результате получаем векторный треугольник Vвв4, который соответствует векторному уравнению Стрелки скоростей и направляем к точке в4.

 

 

Рисунок 10

 

Построение плана скоростей начнем с выбора длины вектора скоро­сти v_B и масштабного коэффициента скорости μ_V. Если ν_в=4,8 м/с, а длина вектора v _B = 70 мм, то

 

μ_V= v _B (м/с) / v_B (мм) = 4,8 / 70 = 0,0686 0,07 (м/с)/мм.

 

Окончательно после округления масштабного коэффициента длина вектора скорости

 

Vв =v_B /μ_V = 68,5 мм.

 

Рисунок 11

 

На плане скоростей (рис.11) выбираем положение полюса V, из него откладываем вектор , направленный перпендикулярно АВ. Согласно векторному урав­нению к вектору пристраиваем линию действия вектора . Вектор есть замыкающий векторов и , поэтому из полюса V проводим линию действия вектора (y - y) до пересечения с х - х в точке в₄. В результате получаем векторный треугольник Vвв4, который соответствует векторному уравнению Стрелки скоростей и направляем к точке в₄.

Длина каждого вектора на плане скоростей (мм) выражает его мо­дуль. Предположим, что отрезки вв₄ и Vв₄, снятые с планов скоростей составляют 55 и 38 мм. Определим числовые значения скоростей:

 

м/с;

 

м /с.

 

Если вектор перенести в точку (рис. 10), то он покажет, что кулиса 4 вращается по часовой стрелке, а числовое значение угловой скорости, рад/с

 

;

 

,

 

где ,м; , м.

 

Планы скоростей камня синусного механизма

 

Синусный механизм отличается от кулисного тем, что кулиса 4 со­вершает поступательное движение (рис.7, б).

Векторное уравнение скорости соответствует уравнению

 

,

где ║ (у - у) - абсолютная скорость точки В₄ (т.е. кулисы), которая равна по величине и направлению скорости ползуна 4 (рис.7,б); ║ (х -х) - относительная скорость, как и в кулисном механизме.

 

 

Рисунок 12

Известны величина и направление вектора , а также направление векторов и . В результате анализа получаем векторное уравнение с двумя неизвестными

 

(у - у) ║ ║(х-х).

 

Построение плана скоростей аналогично кулисному механизму (рис.13), но в плане скоростей направление (х - х) всегда вертикально, а направление (у - у) везде горизонтально (рис.13).

Определим числовые значения скоростей:

 

.

 

.

 

В синусном механизме вращается только кривошип 2, а кулиса, ползун 4 и кулисный камень 3 движутся поступательно.

 

 

 

Рисунок 13

 

Планы скоростей кривошипно-ползунного механизма

Рассмотрим уравнение:

 

,

 

где ║ (х - х) - скорость абсолютная точки С (т.е. ползуна 4, см. рис. 13); ВС - относительная скорость как в шарнирном четырехзвенном механизме (см. рис.9).

Таким образом, в векторном уравнении (рис 12) два неизвестных модуля и .Такое уравнение решается графически

 

(х - х)║ = + ВС.

 

Выбираем на плане скоростей полюс V и откладываем вектор . Из точки в, плана скоростей проводим линию действия относительной скорости СВ. Из полюса V проводим линию действия вектора ║(х -х) до пересечения в точке с. Полученный векторный треугольник соответствует векторному уравнению.

 

 

Рисунок 14

 

Числовые значения скоростей определим по формуле

 

, м/с;

, м/с.

 

Определить числовые значения угловых скоростей:

 

, рад/с;

, рад/с.

4 Варианты схем механизмов
для лабораторной работы

 

Варианты схем механизмов приведены в Приложении А. Эти варианты общие для данной лабораторной работы и лабораторной работы «Построение планов положений механизмов»

 

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: