Корреляционный анализ показателей деятельности песчаных карьеров

С.А.Айвазян

В.С.Мхитарян

В.А.Зехин

 

ПРАКТИКУМ

По многомерным статистическим методам

 

 

Москва, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие.......................................................................................................... 4

 

Глава 1. Корреляционный анализ........................................................................ 5

1.1. Корреляционный анализ показателей деятельности

песчаных карьеров..................................................................................... 5

1.2. Задачи и упражнения......................................................................... 8

1.3. Тест....................................................................................................... 11

 

Глава 2. Регрессионный анализ (классическая модель).................................... 13

2.1. Регрессионная модель производительности труда......................... 13

2.2. Регрессионная модель урожайности зерновых

культур........................................................................................................ 16

2.3.Задачи и упражнения.......................................................................... 20

2.4. Тест....................................................................................................... 23

 

Глава 3. Компонентный анализ........................................................................... 25

3.1. Анализ деятельности строительных организаций.......................... 25

3.2. Компонентный анализ деятельности

сельскохозяйственных районов............................................................... 28

3.3. Задачи и упражнения......................................................................... 31

3.4. Тест....................................................................................................... 34

 

Глава 4. Кластерный и дискриминантный анализ............................................ 36

4.1. Классификация семей по анализируемой структуре

расходов...................................................................................................... 36

4.2. Классификация стран по уровню жизни населения....................... 43

4.3. Классификация мотор-компрессоров бытовых

холодильников по уровню качества........................................................ 45

4.4. Дискриминантный анализ деятельности АО.................................. 48

4.5. Задачи и упражнения........................................................................ 49

4.6. Тест....................................................................................................... 56

 

Глава 5. Итоговый тест......................................................................................... 58

 

Литература............................................................................................................. 61

 

Приложения........................................................................................................... 62

П 1. Варианты заданий для самостоятельных компьютерных

исследований. Исходные статистические данные..................................... 63

П 2. Математико-статистические таблицы.................................................... 65

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Учебное пособие подготовлено для поддержки практических занятий по дисциплине "Многомерные статистические методы".

Авторы исходили из того, что по указанной дисциплине половина практических занятий проводится в обычных аудиториях, а другая половина - в компьютерных классах. Задачи и упражнения, решаемые в аудиториях, направлены на изучение самих статистических методов и алгоритмов. Цель компьютерных занятий - проведение самостоятельных социально-экономических исследований с использованием статистических пакетов программ для ПЭВМ. Исследования включают в себя постановку задачи, проведение расчетов на ПЭВМ, содержательную интерпретацию полученных результатов и выводы.

В этой связи в учебном пособии алгоритмы рассматриваемых методов прикладной статистики подробно разбираются на экономических примерах, часть из которых решены с помощью микрокалькулятора (ориентированы на аудиторию), а часть - с помощью ПЭВМ. Авторы стремились показать возможности получения многовариантных решений и технику выбора окончательной модели и результата, основываясь не только на статистических приемах, но во многом на априорной (предварительной) информации, которой обычно располагает исследователь в экономике.

Задачи, предлагаемые для самостоятельных исследований достаточно прозрачны в экономическом плане, что дает возможность студенту выступать в роли специалиста, который, проводя компьютерные статистические исследования, всегда в общих чертах представляет, что он может ожидать от ЭВМ при реализации того или иного метода.

Авторы выражают глубокую признательность заведующей лабораторией Прикладной статистики и эконометрического моделирования при кафедре Математической статистики и эконометрики Бамбаевой Н.Я. за помощь в проведении компьютерных расчетов и подготовку оригинал-макета рукописи.

Авторы благодарны преподавателям кафедры: проф. Лукашину Ю.П., доц. Дубровой Т.А., доц. Лукашу Е.Н. за участие в постановке ряда задач, вошедших в Практикум.

 

Глава 1. Корреляционный анализ

Корреляционный анализ показателей деятельности песчаных карьеров

Деятельность n=8 карьеров характеризуется себестоимостью 1 т. песка (x ⁽³⁾), сменной добычей песка (x ⁽²⁾) и фондоотдачей (x ⁽¹⁾). Значения показателей представлены в табл.1.1.

Таблица 1.1.

Показатели деятельности песчаных карьеров

x (1)(%)
x (2) (т.)
x (3) (тыс. руб.)

 

Требуется в предположении нормальности распределения трехмерной случайной величины (x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾, x ⁽³⁾):

1. Оценить параметры: векторы средних и среднеквадратических отклонений , корреляционную матрицу

2. При a=0,05 проверить значимость парного r ₁₃ и частного r _{13 (2)} коэффициентов корреляции, а при g=0,95 построить их интервальные оценки.

3. Найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции и при a=0,05 проверить его значимость.

Решение:

1. Найдем значения средних арифметических и среднеквадратических отклонений (s _k ), где k =1,2,3, а также парных коэффициентов корреляции и по формулам:

, где i =1,2,...,8; k =1,2,3 (1.1)

(1.2)

k,l =1,2,3 (1.3)

где:

в результате расчетов получим:

 

2. Предварительно найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляции из выражения

(1.4)

где R₁₂ — алгебраическое дополнение элемента r ₁₂ корреляционной матрицы R, а R₁₁ и R₂₂ алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы

 

 

Аналогично находим: и .

Для проверки значимости парного r ₁₃ и частного r ₁₃₍₂₎ коэффициентов корреляции, т.е. гипотез H₀: r₁₃=0 и H₀: r ₁₃₍₂₎=0 необходимо по таблице (П.8) Фишера-Иейтса при a=2 Q =0,05 и числе степеней свободы соответственно n=n-2=6 и n=n-2-1=5 определить критические значения и . Так как по абсолютной величине расчетное значение , то гипотеза H₀: r₁₃=0 отвергается с вероятностью ошибки a=0,05, т.е. r₁₃¹0 и между x ⁽¹⁾ и x ⁽³⁾ существует зависимость, отрицательный знак которой экономически объясним. С ростом фондоотдачи себестоимость песка уменьшается.

О частном коэффициенте r ₁₃₍₂₎ такого однозначного вывода сделать нельзя. Так как , то гипотеза H₀:r₁₃₍₂₎=0 не отвергается, т.е. предположение об отсутствии связи между x ⁽¹⁾ и x ⁽³⁾ при фиксированном x ⁽²⁾ не противоречит наблюдениям, хотя их достаточно мало (n =8).

Представляет интерес сравнить парный коэффициент корреляции , который характеризует степень тесноты линейной связи между x ⁽¹⁾ и x ⁽³⁾ на фоне влияния x ⁽²⁾ и частный , который характеризует степень тесноты линейной связи между x ⁽¹⁾ и x ⁽³⁾, при исключенном влиянии, фиксированной x ⁽²⁾. Так как , то можно утверждать, что x ⁽²⁾ усиливает тесноту связи между x ⁽¹⁾ и x ⁽

Определим интервальные оценки для коэффициентов корреляции r ₁₃ и r ₁₃₍₂₎ при g=0,95. Для этого используем z —преобразование Фишера и предварительно найдем интервальную оценку для z из условия

(1.5)

где l — порядок частного коэффициента корреляции. Для парного коэффициента корреляции l =0.

По таблице z -преобразования Фишера (П.7) для , учитывая что z ¢(‑ r)=‑ z ¢(r), будем иметь z ¢=‑1,350.

По таблице нормального закона (П.2) из условия , найдем t =1,95.

Тогда

откуда z Î[‑2,222; 0,478].

По таблице z -преобразования (П.7) для z _min=‑2,222 и z _max=‑0,478 найдем интервальную оценку для r₁₃:

.

Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о значимости парного коэффициента корреляции r₁₃, т.к. нуль не находится внутри доверительного интервала.

Для частного коэффициента корреляции r ₁₃₍₂₎ по таблице z -преобразования (П.7) при r ₁₃₍₂₎=‑0,462 будем иметь . Тогда

откуда

z Î[‑1,475; 0,475]

По таблице z -преобразования (П.7) для z _min=‑1,475 и z _max=0,475 найдем интервальную оценку для r ₁₃₍₂₎:

Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о незначимости частного коэффициента корреляции r ₁₃₍₂₎ (нуль находится внутри доверительного интервала).

 

3. Найдем точечную оценку и при a=0,05 проверим его значимость. Точечная оценка определяется по формуле

(1.6)

где ½ R ½— определитель корреляционной матрицы.

½ R ½=1+0,871(‑0,879)(‑0,874)+ 0,871(‑0,879)(‑0,874)-(-0,874)²‑0,871²‑(‑0,879)²=0,043

Проверим гипотезу H₀: R _1(2,3)=0

(1.7)

 

где l =2. Критическое значение по таблице F -распределения (П.5)

F _kp(a=0,05, n₁=2, n₂=5)=5,79

т.к. F _набл> F _kp, то гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки a=0,05, т.е. множественный коэффициент корреляции R _1(2,3)¹0, между результирующим показателем x ⁽¹⁾ и величинами x ⁽²⁾ и x ⁽³⁾ существует зависимость.

 

Задачи и упражнения

1.1. Пусть из двумерной генеральной совокупности (x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾), имеющей нормальное распределение взята выборка объемом n и пусть(x_i ⁽¹⁾, x_i ⁽²⁾), где i = 1, 2,..., n, результаты i -го наблюдения. Требуется:

а) доказать тождественность выражений:

(1.8)

б) доказать справедливость равенств

если

и

где

a, b, c и d - Const, a ¹ 0 и c ¹ 0.

в) определите при каких соотношениях между x_i ⁽¹⁾ и x_i ⁽²⁾) коэффициент корреляции будет равен 1, а при каких -1.

г) доказать, что -1 £ £ 1.

 

1.2. Пусть из трехмерной совокупности (x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾, x ⁽³⁾) имеющей нормальное распределение, взята выборка объемом n, на основании которой получена корреляционная матрица

.

Требуется доказать тождественность выражений для:

а) частного коэффициента корреляции

(1.9)

где R₁₂, R₁₁, R₂₂ - алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы R,

б) множественного коэффициента корреляции

(1.10)

где ½ R ½ - определитель корреляционной матрицы R.

 

1.3. В табл. 1.2 представлены цены (в руб.) на следующие виды продовольственных товаров: говядина (x ⁽¹⁾), растительное масло (x ⁽²⁾), сахар-песок (x ⁽³⁾) и хлеб белый в/с (x ⁽⁴⁾) в n =12 городах Центрального района России на июнь 1996г.

 

 

Таблица 1.2.

Цены на продовольственные товары в городах

Центрального района России

i	город	x (1)	x (2)	x (3)	x (4)
	Брянск
	Владимир
	Иваново
	Калуга
	Кострома
	Москва
	Орел
	Рязань
	Смоленск
	Тверь
	Тула
	Ярославль

 

Требуется:

а) найти точечную оценку коэффициента корреляции r ₁₄ между ценами на говядину (x ⁽¹⁾) и хлеб белый в/с (x ⁽⁴⁾), при a=0,01 проверить его значимость, а при g=0,875 найти его интервальную оценку. Сравнить полученные результаты;

б) оценить тесноту связи между x ⁽²⁾ и x ⁽³⁾ , при a=0,05 проверить значимость коэффициента корреляции между этими показателями, а при g=0,9 найти интервальную оценку для r ₂₃;

в) определить долю (в %) дисперсии x ⁽⁴⁾, обусловленную влиянием x ⁽²⁾. При a=0,1 проверить значимость коэффициента корреляции r ₂₄.

 

1.4. В табл.1.3 представлены темпы прироста (%) следующих макроэкономических показателей десяти развитых стран мира за 1992г.: ВНП (x ⁽¹⁾), промышленного производства (x ⁽²⁾), индекса цен (x ⁽³⁾) и доли безработных (x ⁽⁴⁾).

Таблица 1.3.

Страны	x (1)	x (2)	x (3)	x (4)
Япония	3,5	4,3	2,1	2,3
США	3,1	4,6	3,9	6,3
Германия	2,2	2,0	3,4	5,1
Франция	2,7	3,1	2,9	9,7
Италия	2,7	3,0	5,6	11,1
Великобритания	1,6	1,4	4,0	9,5
Канада	3,1	3,4	3,0	10,0
Австралия	1,8	2,6	4,0	2,6
Бельгия	2,3	2,6	3,4	8,9
Нидерланды	2,3	2,4	3,5	6,4

Требуется:

а) найти оценку коэффициента корреляции между темпами прироста ВНП (x ⁽¹⁾) и промышленного производства (x ⁽²⁾), при a=-0,05 проверить его значимость, а при g=0,923 найти его интервальную оценку;

б) оценить тесноту связи между x ⁽¹⁾ и x ⁽³⁾, при a=0,05 проверить значимость коэффициента корреляции между этими показателями, а при g=0,857 найти интервальную оценку для r ₁₃;

в) найти точечную и интервальную оценку коэффициента корреляции x ⁽²⁾ по x ⁽³⁾, приняв g=0,95;

г) определить долю дисперсии x ⁽²⁾, обусловленную влиянием x ⁽⁴⁾;

д) при a=0,05 проверить значимость, а при g=0,888 найти интервальную оценку коэффициента корреляции между x ⁽³⁾ и x ⁽⁴⁾.

 

1.5. При исследовании взаимосвязи цен на следующие виды продовольственных товаров: говядина (x ⁽¹⁾), растительное масло (x ⁽²⁾), сахар-песок (x ⁽³⁾) и хлеб белый в/с (x ⁽⁴⁾) в n =22 городах Центрального района России получена матрица парных коэффициентов корреляции:

 

Для трехмерной совокупности x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾ и x ⁽⁴⁾ требуется:

а) построить матрицу парных коэффициентов корреляции;

б) при a=0,1 проверить значимость частного коэффициента корреляции r ₁₂₍₄₎ и найти его интервальную оценку при g=0,954. Сравнить полученные результаты.

Как влияет показатель x ⁽⁴⁾ на тесноту связи между x ⁽¹⁾ и x ⁽²⁾?

в) при a=0,05 проверить значимость множественного коэффициента корреляции R _4(1,2).

 

1.6. По данным задачи 1.5 для трехмерной совокупности x ⁽²⁾, x ⁽³⁾, x ⁽⁴⁾ требуется:

а) построить матрицу парных коэффициентов корреляции R;

б) при a=0,01 проверить значимость частного коэффициента корреляции r ₂₃₍₄₎ и найти его интервальную оценку при g=0,9. Сравнить полученные результаты. Как влияет показатель x ⁽⁴⁾ на тесноту связи между x ⁽³⁾ и x ⁽²⁾?

в) при a=0,05 проверить значимость множественного коэффициента корреляции R_2(3,4). Дайте интерпретацию .

 

1.7. При исследовании взаимосвязи темпов приростов (%) следующих макроэкономических показателей десяти развитых стран мира за 1992г.: ВНП (x ⁽¹⁾), промышленного производства (x ⁽²⁾), индекса цен (x ⁽³⁾) и доли безработных (x ⁽⁴⁾) рассчитана матрица парных коэффициентов корреляции (табл.1.4), а также векторы средних арифметических и среднеквадратических отклонений (S):

; .

 

 

Таблица 1.4.

	x (1)	x (2)	x (3)	x (4)
x (1)	1,00	0,90	-0,39	-0,05
x (2)	0,90	1,00	-0,28	-0,23
x (3)	-0,39	-0,28	1,00	0,41
x (4)	-0,05	-0,23	0,41	1,00

 

Для трехмерной совокупности x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾ и x ⁽³⁾ требуется:

а) при a=0,05 проверить значимость частного коэффициента корреляции r ₁₂₍₃₎ и найти его интервальную оценку с надежностью g=0,925;

б) при a=0,05 проверить значимость множественного коэффициента корреляции R_1(2,3).

 

1.8. По данным задачи 1.7 для трехмерной совокупности x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾ и x ⁽⁴⁾ требуется:

а) при a=0,05 проверить значимость частного коэффициента корреляции r ₁₂₍₄₎, а также найти его интервальную оценку с надежностью 0,836;

б) при a=0,05 проверить значимость множественного коэффициента детерминации .

 

1.9. По данным задачи 1.7 провести корреляционный анализ трехмерной совокупности x ⁽¹⁾, x ⁽³⁾ и x ⁽⁴⁾, приняв x ⁽¹⁾ за результативный признак, и дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

 

1.10. По данным задачи 1.7 провести корреляционный анализ трехмерной генеральной совокупности x ⁽²⁾, x ⁽³⁾ и x ⁽⁴⁾, приняв x ⁽²⁾ за результативный признак, и дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

 

Тест

1. Известно, что при фиксированном значении x ₃ между величинами x ₁ и x ₂ существует положительная связь. Какое значение может принять частный коэффициент корреляции r _12/3.

а) -0,8; в) 0,4;

б) 0; г) 1,3.

 

2. По результатам n =20 наблюдений получен частный коэффициент корреляции . Определите, чему при уровне значимости a=0,05 равна разность между наблюдаемым и критическим (r _kp) значениями коэффициентов корреляции:

а) -0,513; в) 0,700;

б) 0,344; г) 0,133.

3. Известно, что x ₃ усиливает связь между величинами x ₁ и x ₂. По результатам наблюдений получен частный коэффициент корреляции . Какое значение может принять парный коэффициент корреляции :

а) 0,4; в) -0,8;

б) 0,2; г) 1,2.

 

4. По результатам n =10 наблюдений рассчитан частный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью g=0,95 найдена интервальная оценка 0,37£ r ₁₂₍₃₎£0,96. Какое значение принимает верхняя граница доверительного интервала для r ₁₂₍₃₎ при g=0,9:

а) 0,94; в) 0,39;

б) 0,98; г) 0,27.

 

5. По результатам n =20 наблюдений рассчитан и найден при g=0,95 доверительный интервал 0,23£ r ₁₃₍₂₎£0,83.

Какое значение примет нижняя граница доверительного интервала для r ₁₃₍₂₎ при n =10 если g и остались неизменными:

а) 0,45;

б) 0,20;

в) 0,32;

г) 0,89.

 

6. Множественный коэффициент корреляции . Определите, какой процент дисперсии величины x ₁ объясняется влиянием x ₂ и x ₃:

а) 28%;

б) 32%;

в) 64%;

г) 80%.

 

7. По результатам 20 наблюдений найден множественный коэффициент корреляции, т.е. гипотизу . Проверьте значимость множественного коэффициента корреляции H₀: при a=0,05 и определите разность между наблюдаемым F_набл и критическим F_kp значениями статистики критерия:

а) 2,8;

б) -13,6;

в) 9,4;

г) 11,5.

 

8. Какое значение может принимать коэффициент детерминации:

а) -0,5;

б) -0,2;

в) 0,4;

г) 1,2.

 

9. Какое значение может принять множественный коэффициент корреляции:

а) -1;

б) -0,5;

в) 0;

г) 1,2.

 

10. По результатам n =25 наблюдений получен парный коэффициент корреляции . Известно, что x ₃ занижает связь между x ₁ и x ₂. Какое значение может принять частный коэффициент корреляции:

а) -0,5;

б) -0,6;

в) 0,5;

г) 0,8.

 

123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: