Сходящиеся числовые последовательности
Стр 1 из 3Следующая ⇒ ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение 1. Функция, определенная на множестве N натуральных чисел и принимающая значения из множества Х Примеры. 1. 2. хn= 1-(-1 )n, { хn }={2, 0, 2, 0,…}- множество значений состоит из двух чисел: 0 и 2. 3. хn=а=const, постоянная последовательность, множество значений состоит из одного числа а. Определение 2. Числовая последовательность хn называется сходящейся, если существует число х0, такое, что для любого Символически это определение записывают следующим образом:
Число х0 называется пределом последовательности хn. Говорят также, что последовательность { хn } сходится к числу х0. Обозначение: Если последовательность не сходится ни к одному числу, то она называется расходящейся. Геометрический смысл понятия предела состоит в том, что при произвольно заданном положительном числе Построим отрицание определения существования предела, т.е. построим определение расходящейся числовой последовательности. Числовая последовательность { хn } называется расходящейся, если Здесь мы воспользовались правилом построения отрицания с кванторами: квантор Примеры.
1. Пусть Решение. Действительно, неравенство Замечание. Функцией y= [ x ] называется целая часть числа x, т.е. наибольшее
Рис.2.1. целое число n, удовлетворяющее неравенству n ≤ х (рис.2.1). Например, [1,8] = 1, [-5,3] = - 6. 2. Показать, что эта последовательность Решение. От противного. Пусть предел существует, т.е.
Если n – нечетное, - Отсюда ясно, что не существует такого х0, чтобы неравенства (*) и (**) выполнялись одновременно при произвольном ε. Таким образом, последовательность {(-1) n }-расходится. Теорема 1 (о единственности предела). Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел. □ Предположим противное, т.е. хn имеет два предела а и b, а ≠ b. По определению предела, каково бы ни было ε>0
Тогда Получили противоречие, т.е. предположение неверно и теорема доказана. ■ Определение 3. Последовательность хn называется ограниченной, если Например, последовательность Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена. □ Пусть хn сходящаяся последовательность, а х0 – её предел. Выберем ε >0 произвольно. По определению 2, Замечание. Из ограниченности последовательности её сходимость не вытекает. Например, последовательность хn =(-1)n - ограничена, но расходится. Если последовательность неограниченна, то она расходится, т.к. не выполняется определение 2.
Пример. Исследовать сходимость последовательности Решение. Если | q |<1, то Если если ε > 1, то | qn | <ε при N =1. Теперь, если q =1, то если q =-1, то последовательность хn =(-1)n расходится (установлено ранее); если | q | > 1, то последовательность расходится, т.к. она не ограничена. Таким образом, Например, Определение 4. Последовательность хn называется неубывающей (невозрастающей), если Определение 5. Последовательность хn называется возрастающей (убывающей), если Теорема 3. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится. □Пусть хn не убывает, т.е. 1) 2) В силу монотонности хn:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|