Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные
⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Последовательности Больцано Бернар (чещс. 1781-1848), Вейерштрасс Карл (1815-1897). Определение 9. Пусть Если подпоследовательность Теорема 9. Если последовательность □ Пусть Теорема 10 (о вложенных отрезках). Пусть □ По условию последовательность Теорема 11 (Больцано - Вейерштрасс). Из всякой ограниченной можно выделить сходящуюся подпоследовательность. □ Пусть последовательность Выберем ту часть отрезка
В силу теоремы 10, существует точка с, которая принадлежит всем отрезкам:
Построим подпоследовательность сходящуюся к числу с. В качестве
Покажем, что В качестве иллюстрации к этой теореме можно взять ограниченную последовательность Пусть Теорема 12. Числа Определение 10. Числа
Пример. Последовательность Определение сходимости последовательности Определение 11. Последовательность
Ясно, что члены фундаментальной последовательности с увеличением номера сближаются между собой. Теорема 13. Если последовательность
□ Фиксируем
Т.е. все члены Положим Теорема 14 (критерий Коши,1789-1857). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. □ а) Необходимость. Пусть
Тогда
т.е. б) Достаточность. Пусть Последовательность
Поскольку Это означает, что последовательность сходится к Пример. Доказать, что последовательность где Решение. Пусть
Учитывая, что последовательность
Числовые ряды. Другой формой изучения числовых последовательностей являются числовые ряды. Пусть Определение 12. Выражение вида (формально составленная сумма)
называется числовым рядом, а Другими словами, ряд есть бесконечная сумма членов некоторой числовой последовательности. Сумма первых n членов числовой последовательности
Частичные суммы Определение 13. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательности его частичных сумм
который называют суммой ряда. В этом случае пишут
Величина Если последовательность
Замечание. По определению 2 сходимость ряда (6) равносильна сходимости числовой последовательности Одна из главных задач теории числовых рядов состоит в изучении вопроса о сходимости и расходимости. Примеры. 1) Исследовать сходимость ряда Решение. Рассмотрим последовательность частичных сумм: 2) Исследовать сходимость ряда Решение. Составим последовательность частичных сумм
то Тогда откуда следует, что ряд сходится. Аналогичным образом можно найти сумму ряда
3) Исследовать сходимость ряда Решение. Частичной суммой ряда является сумма геометрической прогрессии: Если При При Если 4) Показать, что ряд Решение. Так как частичную сумму
Тогда, т.к.
Пусть Определение 14. Суммой и разностью этих рядов, а также произведением ряда на число называют следующие ряды:
Теорема 15. Если ряды Замечание. Отбрасывание или добавление конечного числа слагаемых к членам ряда не влияет на его сходимость или расходимость, т.к. в этом случае его частичная сумма изменится на постоянное число. Теорема 16 (критерий Коши). Для сходимости ряда Очевидно, что неравенство (2) равносильно следующему:
Следствие (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд (6) сходится, то
□ При Отметим, что это условие необходимое, но не достаточное, т.е. если предел равен нулю, то ряд может сходиться, а может и расходиться. Пример. Рассмотрим ряд Очевидно, что
Следовательно, критерий Коши не выполняется и ряд расходится. Определение 15. Числовой ряд (6) называется знакоположительным, если Если Сформулируем основные достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Теорема 17 (основной признак). Для того чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены сверху, т.е.
Теорема 18 (признак разреженности). Пусть члены знакоположительного ряда монотонно убывают, т.е. Рассмотрим пример применения этого признака. Пример. Ряд Решение. Если Если который сходится, если Теорема 19 (признак сравнения). Пусть имеются два знакоположительных ряда:
причем
Тогда: а) если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7); б) если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8). Примеры. Исследовать сходимость рядов. 1) Решение. Ясно, что 2) Решение. Так как Теорема 20 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (7) и (8). Тогда, если существует конечный и отличный от нуля предел
то эти ряды одновременно сходятся или расходятся. Пример. Исследовать сходимость ряда Решение. Проверим сначала необходимый признак:
Следовательно, ряд может сходиться, а может и расходиться. Используем достаточный признак сравнения в предельном виде
Этот предел будет конечен и равен
Теорема 21 (признак Даламбера, фр. 1717-1783 ) Если существует предел то знакоположительный ряд Пример. Исследовать сходимость ряда Решение. Согласно теореме, ряд расходится. Замечание. Если Теорема 22 ( признак Коши, фр. 1789-1857). Если существует конечный предел
то в случае Замечание. При λ= 1 ряд может сходиться, а может и расходиться. Теорема 23 (интегральный признак). Пусть функция Замечание. Очевидно, что в условиях теоремы интеграл Пример. Исследовать сходимость ряда Теперь снова остановимся на определении числа е, которое используется как основание для натуральных логарифмов Покажем, что он сходится. При Ряд
Тогда по признаку сравнения ряд Очевидны следующие неравенства: Оценим погрешность, с которой частичная сумма Таким образом, Число е с пятью знаками е ≈2,71828. Причем е – иррациональное число. Определение 16. Числовой ряд Теорема 24 (достаточный признак сходимости). Если сходится ряд Пример. Знакопеременный ряд Определение 17. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов. Из теоремы 10 ясно, что всякий абсолютно сходящийся ряд является просто сходящимся. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Пример. Знакопеременный ряд
Среди знакопеременных рядов очень важное место занимают знакочередующиеся ряды, т.е. ряды вида:
где Такой ряд иногда называют рядом Лейбница. Для этих рядов справедлив достаточный признак. Теорема 25 (признак Лейбница). Пусть члены знакочередующегося ряда монотонно убывают, т.е. Пример. Знакопеременный ряд Следствие. Абсолютная погрешность при замене суммы знакочередующегося ряда его частичной суммой не превосходит первого отброшенного члена ряда, т.е.
Замечание. Теорема остается верной, если условие Следствие играет большую роль в практических вычислениях с помощью рядов. Пример. Вычислить с точностью δ =0,001 сумму ряда
Так как
2.5. Контрольные вопросы. 1. Сформулируйте определения: а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности; в) предела последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений. 2. Эквивалентно ли определение предела последовательности такому определению: 3. Покажите на примере, что номер N, фигурирующий в определении предела последовательности, зависит, вообще говоря, от e. 4. Пусть последовательность 5.Пусть 6. Пусть в некоторой окрестности точки 7. Пусть в любой окрестности точки x0 лежит бесконечно много членов последовательности 8. Пусть последовательность 9. Пусть последовательность сходится. Является ли сходящейся последовательность, которая получается из исходной, если: 10. Сформулируйте определения: а) бесконечно малой последовательности; б) бесконечно большой последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений. 11. Сформулируйте на языке "e – N " отрицание того, что последовательность является: а) бесконечно малой; б) бесконечно большой. Дайте геометрическую интерпретацию этих отрицаний. 12. Дайте определение, соответствующее символической записи 13. а) Является ли бесконечно малая последовательность ограниченной? б) Является ли бесконечно большая последовательность ограниченной: сходящейся? в) Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой? 14. Докажите, что сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой. Верно ли аналогичное утверждение для бесконечно больших последовательностей? Ответ обоснуйте. 15. Пусть 16. Пусть 17. Сформулируйте на языке 18. Пусть последовательность 19. Сформулируйте: а) определение монотонной последовательности; б) признак сходимости монотонной последовательности. 20. Является ли ограниченность монотонной последовательности необходимым и достаточным условием сходимости: а) монотонной последовательности; б) произвольной последовательности? 21. Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрасса. 22. Верно ли утверждение: если последовательность неограниченая, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность? 23. Сформулируйте определения: а) фундаментальной последовательности; б) нефундаментальной последовательности. 24. Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности. 25. Какой предел называют числом e? Числовые ряды Примеры решения задач
Теоремы об арифметических операциях над числовыми последовательностями имеют очень большое как теоретическое, так и практическое значение. Но, несмотря на свою простоту, их правильное применение представ
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|