Обработка результатов многократных измерений одной и той же величины.
Задание 1. При многократном измерении одной и той же физической величины Q получена серия из 24 результатов измерений Qi; . Исключить ошибки из результатов измерений. Исходные данные:
Таблица 1
№ измерения
Qi
№ измерения
Qi
№ измерения
Qi
№ измерения
Qi
Решение. 1). Определяем оценки результата измерения и среднего квадратического отклонения по формулам:
= ,
= ,
и проверяем с помощью Microsoft Excel следующим образом: на листе Excel записываем столбцы 1 и 2 таблицы 1:
Таблица 2
№
Qi
-1,9583
3,8351
1,0417
1,0851
2,0417
4,1684
2,0417
4,1684
-0,9583
0,9184
-0,9583
0,9184
-0,9583
0,9184
-0,9583
0,9184
-2,9583
8,7517
-3,9583
15,6684
8,0417
64,6684
2,0417
4,1684
-0,9583
0,9184
-0,9583
0,9184
-0,9583
0,9184
-0,9583
0,9184
0,0417
0,0017
0,0417
0,0017
-0,9583
0,9184
-1,9583
3,8351
-2,9583
8,7517
-2,9583
8,7517
-0,9583
0,9184
11,0417
121,9184
483,9583
258,9582
а). Выделяем ячейку для искомого значения (щелчком по левой кнопке), выбираем значок fx на панели инструментов, затем находим функцию Статистические - СРЗНАЧ в окне ниспадающего меню, нажимаем OK, в поле Число1 заносим столбец значений х с помощью мыши, нажимаем OK.
b). Для удобства вычисления среднего квадратического отклонения результата измерения добавим в таблицу столбцы 3 и 4. Для этого выделяем ячейку в строке рядом со значением Q1, в выделенной ячейке ставим знак “ = “, щелкаем мышью по ячейке, содержащей значение Q1, знак «-», щелкаем по ячейке, содержащей , Enter. В строке формул выделяем знаком «$» букву номера ячейки, содержащей , и протягивая мышью до последней строки, заполняемостальные ячейки третьего столбца.
Четвертый столбец заполняется по той же схеме: в выбранной ячейке ставим знак “ = “, щелкаем мышью по ячейке, содержащей значение Q1 -, знак «*», щелкаем по ячейке, содержащей Q1 -, Enter. Протягивая мышью до последней строки, заполняемостальные ячейки четвертого столбца.
с). Суммируем все значения (Qi - )2 – содержимое ячеек четвертого столбца, используя значок ∑ (автосумма) на панели инструментов. Результат делим на 24 и используя значок fx на панели инструментов, находим функцию Математические – КОРЕНЬ, получаем:
2. Чтобы обнаружить и исключить ошибки результатов измерений:
– вычисляем наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение
– задаемся доверительной вероятностью P = 0,95 и из соответствующих таблиц с учетом q = 1 – P находим соответствующее ей теоретическое (табличное) значение :
при n = 24;
– сравниваем и : . Это означает, что результат измерения Q24 является ошибочным, он должен быть отброшен.
Необходимо повторить вычисления согласно п.п. 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений и проводить их до тех пор, пока не будет выполняться условие для всех результатов измерений.
Повторяем вычисления, отбросив измерение №24. Получим согласно таблице 3:
Таблица 3
№ измерения
Qi
-1,4783
2,1853
1,5217
2,3157
2,5217
6,3592
2,5217
6,3592
-0,4783
0,2287
-0,4783
0,2287
-0,4783
0,2287
-0,4783
0,2287
-2,4783
6,1418
-3,4783
12,0983
8,5217
72,6200
2,5217
6,3592
-0,4783
0,2287
-0,4783
0,2287
-0,4783
0,2287
-0,4783
0,2287
0,5217
0,2722
0,5217
0,2722
-0,4783
0,2287
-1,4783
2,1853
-2,4783
6,1418
-2,4783
6,1418
-0,4783
0,2287
Σ
131,7391
Имеем:
при n = 23;
Сравниваем и : . Отбрасываем измерение №11 и повторяем вычисления. Для n = 22 аналогично получим:
, , , при n = 22;
Сравниваем и . Так как , то результат измерения №10 не является ошибочным. Следовательно, окончательно остается 22 измерения, т.е. n = 22.
Обработка результатов нескольких серий измерений одной и той же величины
Задание 2. При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 5. Исключить ошибки из результатов измерений.
Исходные данные:
Таблица 4
Серия 1
Серия 2
№ измерения
Результат измерения
№ измерения
Результат измерения
№ измерения
Результат измерения
№ измерения
Результат измерения
Решение. 1). Обрабатываем экспериментальные данные по алгоритму, изложенному в п.п. 1,2 задания 1, при этом:
– определяем оценки результата измерения и среднеквадратического отклонения ,
j = 1,2, используя таблицу 5 и этапы a) – c):
Таблица 5
Серия 1
Серия 2
№ из-мерения
Q1i
№ из-мерения
Q2i
-2,1667
4,6944
-0,7500
0,5625
0,8333
0,6944
-0,7500
0,5625
1,8333
3,3611
-0,7500
0,5625
1,8333
3,3611
-0,7500
0,5625
-1,1667
1,3611
0,2500
0,0625
-1,1667
1,3611
0,2500
0,0625
-1,1667
1,3611
-0,7500
0,5625
-1,1667
1,3611
-1,7500
3,0625
-3,1667
10,0278
-2,7500
7,5625
-4,1667
17,3611
-2,7500
7,5625
7,8333
61,3611
-0,7500
0,5625
1,8333
3,3611
11,2500
126,5625
Σ
109,6667
Σ
148,2500
, ;
, ;
– обнаруживаем и исключаем ошибки:
, ;
при n = 12;
– сравниваем и с : и . Результаты измерения Q1,11 и Q2,12 являются ошибочными, они должны быть отброшены.
Повторяем вычисления, при этом отбрасываем измерения 11 из серии №1 и 12 из серии №2 и используем таблицу 6:
, ;
;
Таблица 6
Серия 1
Серия 2
№ из-мерения
Q1i
№ из-мерения
Q2i
-1,4545
2,1157
0,2727
0,0744
1,5455
2,3884
0,2727
0,0744
2,5455
6,4793
0,2727
0,0744
2,5455
6,4793
0,2727
0,0744
-0,4545
0,2066
1,2727
1,6198
-0,4545
0,2066
1,2727
1,6198
-0,4545
0,2066
0,2727
0,0744
-0,4545
0,2066
-0,7273
0,5289
-2,4545
6,0248
-1,7273
2,9835
-3,4545
11,9339
-1,7273
2,9835
2,5455
6,4793
0,2727
0,0744
Σ
42,7273
Σ
10,1818
; ;
при n = 11;
Сравниваем и с : и . Результаты измерений 10 из серии №1 и 9 из серии №2 не являются ошибочными и окончательно остается 11 измерений для обеих серий, т.е. n = 11.
Считая результаты измерений распределенными нормально с вероятностью ,
проверим значимость различия средних арифметических серий. Для этого:
– вычисляем моменты закона распределения разности:
, n1 = n2 = n
Задавшись доверительной вероятностью P = 0,95, определяем из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) значение t
t = 1,645
и сравниваем с , при : < . Различия между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью P можно признать незначимыми.
3. Обрабатываем совместно результаты измерения обеих серий с учетом весовых коэффициентов:
1) определяем оценки результата измерения и среднеквадратического отклонения S
,
,
.
2) задавшись доверительной вероятностью P = 0,95, определяем по таблице t = 1,96 и доверительный интервал: