 |
критерии хи-квадрат. Критерий Андерсона-Дарлинга. 6. Асимметрия, эксцесс. 7. Понятие доверительного интервала для M(X), D(X).
|
|
|
|
критерии хи-квадрат
критерий χ 2 (хи квадрат), который проверяет значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Прежде всего, это анализ категориальных данных, т. е. таких, которые выражаются не количеством, а принадлежностью к какой-то категории. Например, класс автомобиля, пол участника эксперимента, вид растения и т. д. К таким данным нельзя применять математические операции вроде сложения и умножения, для них можно только подсчитать частоты.
Нулевая гипотеза заключается в том, что частоты согласованы, то есть фактические данные не противоречат ожидаемым. Альтернативная гипотеза – отклонения в частотах выходят за рамки случайных колебаний, расхождения статистически значимы. Чтобы сделать строгий вывод, нам потребуется.
1. Обобщающая мера расхождения между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами.
2. Распределение этой меры при справедливости гипотезы о том, что различий нет.
Распределение χ 2 (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.
pearson. test(MyVec)
Критерий согласия Колмогорова - Смирнова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий χ 2 и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению F(x) с заранее известными параметрами. Последнее обстоятельство накладывает ограничения на возможность широкого практического приложения этого критерия при анализе результатов механических испытаний, так как параметры функции распределения характеристик механических свойств, как правило, оценивают по данным самой выборки.
|
|
|
Критерий Колмогорова - Смирнова применяют для негруппированных данных или для группированных в случае малой ширины интервала (например, равной цене деления шкалы силоизмерителя, счетчика циклов нагружения и т. д. ). Пусть результатом испытаний серии из n образцов является вариационный ряд характеристики механических свойств.
lillie. test(MyVec)
Критерий Андерсона-Дарлинга
Этот критерий менее известен, но обычно работают гораздо лучше, нежели критерий Лиллифорса.
ad. test(MyVec)
Критерий Шапиро-Уилка используется для проверки гипотезы: «случайная величина распределена нормально» и является одним наиболее эффективных критериев проверки нормальности. Критерии, проверяющие нормальность выборки, являются частным случаем критериев согласия. Если выборка нормальна, можно далее применять мощные параметрические критерии, например, критерий Фишера.
shapiro. test(MyVec)
6. Асимметрия, эксцесс.
О близости эмпирического распределения нормальному можно также судить, используя показатели асимметрии As и эксцесса E.
Для теоретического нормального распределения эти показатели равны нулю (As=0, E=0).
Для больших выборок асимметрия считается значимой, если значение As по модулю превосходит 0. 5; значения, меньшие 0. 25, во внимание не принимаются.
Выполнение условия симметричности распределения особенно важно, так как в этом случае, даже при отсутствии нормальности можно уверенно использовать среднее x в качестве оценки наиболее вероятного значения случайной величины.
7. Понятие доверительного интервала для M(X), D(X).
Доверительный интервал для M(X)
Дана выборка X = {x1, x2, x3, ..., xn}
X − t(1− α /2, N− 1)*S/√ N< M(X) < X + t(1− α /2, N− 1)*S/√ N
X - выборочное среднее
N - объем выборки
S - ско
α - уровень значимости (вероятность, с которой значение параметра НЕ попадает в доверит. интервал; 0. 05, 0. 01, 0. 1)
|
|
|
1 − α - доверительная вероятность (0. 95, 0. 99, 0. 9)
t(1− α /2, N− 1) - это верхний квантиль распределения Стьюдента с
N − 1 степенями свободы.
1. Зададим уровень значимости: alpha< - 0. 05
Вычислим выборочное среднее: M < - mean(X, na. rm = TRUE)
Вычислим размер выборки: N < - length(X)
Вычислим квантиль T(1− α /2, N− 1): TQ < - qt(p = 1-alpha/2, df = N-1)
Вычислим стандартное отклонение: S < - sd(X, na. rm = TRUE)
Вычислим нижнюю границу доверительного интервала среднего:
lowInt < - M - TQ * S / √ N
Вычислим верхнюю границу доверительного интервала среднего:
hiInt < - M + TQ * S / √ N
2. Тоже самое можно получить с помощью команды:
t. test(X, alternative = “two. sided“, mu = M, conf. level = 0. 95)
Доверительный интервал для D(X)
(N − 1)S2/χ 2(1− α /2, N− 1)≤ σ 2 ≤ (N − 1)S2/χ 2(α /2, N− 1)
N - объем выборки
S - ско
α - это уровень значимости
χ 2(1− α /2, N− 1) - это верхний квантиль распределения χ 2 с N – 1 степенями свободы
χ 2(α /2, N− 1) - нижний квантиль
1. Зададим уровень значимости: alpha< - 0. 05
Вычислим выборочную дисперсию: D< - var(X, na. rm = TRUE)
Вычислим размер выборки: N < - length(X)
Вычислим квантиль χ 2(α /2, N− 1): chiq1 < - qchisq(p = alpha/2, df = N-1)
Вычислим квантиль χ 2(1− α /2, N− 1): chiq2 < - qchisq(p = 1- alpha/2, df = N-1)
Вычислим нижнюю границу доверительного интервала среднего:
leftInt < - (N-1)* D / chiq2
Вычислим верхнюю границу доверительного интервала среднего:
rightInt < - (N-1)* D / chiq1
2. Нет базовых функций в R для автоматического определения дов. инт. D(X)
8. Критерии для сравнения дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей. Сравнение дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей в R.
Рассмотрим 2 гипотезы:
Н0: Dx=Dy – точность измерений 2х приборов одинакова (новый не обеспечивает большую точность)
Н1: Dx< Dy – новый газоанализатор обеспечивает большую точность
Для проверки гипотез используют критерий Фишера:
> var. test (х, у, alternative=" less", ”greater”, “two sided”)
На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т. д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т. е. наименьшую дисперсию.
Критерий Бартлетта и Кохрана. - несколько дисперсий (3 и более)
|
|
|
