Метод искусственного базиса

Метод искусственного базиса применяется для решения задач ЛП в случае, когда задача не имеет начального опорного решения с базисом из единичных векторов.

Пусть задана задача ЛП в канонической форме, то есть имеет вид (1.6), и в ней отсутствует единичный базис. К этой задаче строим вспомогательную задачу (ВЗ):

Здесь w ₁, w ₂,…, w_m – искусственные переменные. Запишем ограничения в векторном виде: A ₁ x ₁+ A ₂ x ₂+…+ A_nx_n + A_{n +1} w ₁+…+ A_n+mw_m = B, где , , …, , , , …, , . Таким образом, вектора , , …, образуют единичный базис в R ^m, и все искусственные переменные соответствующие этим векторам будут базисными. Далее строится обычная симплекс-таблица. Если ВЗ не имеет решения в силу неограниченности целевой функции, то исходная задача также не имеет решения по той же причине. Пусть в результате знакомых по симплекс-методу необходимых преобразований получили оптимальную симплекс-таблицу к ВЗ. Очевидно, что максимальное значение целевой функции ВЗ равно 0, то есть max F =0. Если же max F <0, то исходная задача ЛП не имеет решения в силу несовместности системы ограничений. Предположим, что max F =0. Тогда возможны такие ситуации:

1) все искусственные переменные стали свободными и были исключены из таблицы. В этом случае вычеркиваем столбцы, соответствующие искусственным переменным и последнюю строку. Вместо неё приписываем новую строку оценок, но с использованием исходной целевой функции Z (X). Тем самым получена начальная симплекс-таблица для исходной задачи ЛП, к которой применяем симплекс-метод;

2) в оптимальном решении ВЗ хотя бы одна искусственная переменная осталась базисной. Тогда:

а) либо все числа в строках, соответствующих оставшимся базисным искусственным переменным, равны 0;

б) либо есть хоть одно отличное от 0.

В первом случае, поступаем также как и пункте 1). Во втором, выбираем любой ненулевой элемент в качестве ведущего и делаем шаг жордановых исключений. Через конечное число шагов мы придем или к пункту 1), или к пункту 2)а).

Заметим, что если среди векторов A_j, j =1,2,…, n, были вектора, которые могли бы войти в базис, то искусственные переменные вводят только в те уравнения системы ограничений, в которых отсутствует базисная переменная.

Пример 1.3. Максимизировать функцию Z = x ₁+2 x ₂-2 x ₃ при ограничениях

Решение. Преобразуем исходную задачу линейного программирования к канонической. Для этого введём в ограничения дополнительные неотрицательные переменные. А именно, в первое неравенство – переменную x ₄ со знаком «+», во второе – x ₅ со знаком «-». Система ограничений примет вид:

Эту систему запишем в векторной форме: A ₁ x ₁+ A ₂ x ₂+ A ₃ x ₃+ A ₄ x ₄+ A ₅ x ₅= B, где

, , , , , . Очевидно, что в данной системе ограничений отсутствует единичный базис. Это означает, что среди векторов A_j нет трёх необходимых единичных векторов, которые должны образовывать базис в R ³. Однако заметим, что вектор A ₄ является частью базиса. Ему соответствует базисная переменная x ₄. Необходимо найти ещё два единичных вектора. Для этого применим метод искусственного базиса. Введём искусственные переменные в те уравнения ограничений, в которых не присутствует базисная переменная x ₄ и построим следующую вспомогательную задачу (ВЗ):

F =- w ₁- w ₂®max

где w ₁, w ₂ – искусственные переменные. Система ограничений ВЗ в векторном виде имеет вид: A ₁ x ₁+ A ₂ x ₂+ A ₃ x ₃+ A ₄ x ₄+ A ₅ x ₅+ A ₆ w ₁+ A ₇ w ₂= B, где вектора A_j, j =1,2,3,4,5 определяются также, как и выше, а и . Таким образом, вектора A ₄, A ₆, A ₇ образуют базис в R ³ и им соответствуют базисные переменные (БП) – x ₄, w ₁, w ₂. Все остальные переменные, а именно x ₁, x ₂, x ₃, x ₅ объявляются свободными (СП). Далее к ВЗ применяем обычный симплекс-метод. Как и раньше, см. §5.1, начальный опорный план получается, если присвоить свободным переменным значения, равные нулю. При этом базисные переменные принимают значения, равные числам в соответствующей строке столбца свободных коэффициентов В, то есть x ₁= x ₂= x ₃= x ₅=0¸ а x ₄=8, w ₁=4, w ₂=12. Строим симплекс-таблицу, соответствующую начальному опорному плану:

С этой таблицей проводим необходимые преобразования симплекс-метода, пока не получим оптимальную симплекс-таблицу или неразрешимость. В нашем случае, мы уже на втором шаге будем иметь такую симплекс-таблицу:

Эта таблица будет оптимальной для ВЗ. При этом все искусственные переменные стали свободными и max F =0. Вычеркивая столбцы, соответствующие искусственным переменным и последнюю строку, и приписывая новую строку оценок с использованием исходной целевой функции Z (X), получим начальную симплекс-таблицу для исходной задачи ЛП:

Проанализировав последнюю таблицу, делаем вывод, что исходная задача ЛП не имеет решения в силу неограниченности целевой функции.