 |
Основные типы характеристик нелинейных элементов в цепях переменного тока
|
|
|
|
Использование динамических характеристик нелинейных элементов позволяет осуществлять расчет нелинейных цепей для мгновенных значений переменных, т.е. проводить принципиально ее наиболее точный и полный анализ. Однако в целом ряде случаев такой расчет может оказаться достаточно трудоемким или избыточным по своей глубине. Поэтому в зависимости от цели решаемой задачи, а также от требований к точности получаемых результатов, помимо динамической характеристики, могут использоваться нелинейные характеристики по первым гармоникам и для действующих значений (см. табл. 1).
Таблица 1. Определение основных типов характеристик нелинейных элементов
| Тип харапктеристики | Определение | Примечание |
| Динамическая характеристика (характеристика для мгновенных значений) | Характеристика, связывающая мгновенные значения основных определяющих величин | Используется при анализе цепи по мгновенным значениям |
| Характеристика по первым гармоникам | Характеристика, связывающая амплитуды (действующие значения) первых гармоник основных определяющих величин.
Если воздействующая величина содержит постоянную составляющую, то нелинейный элемент характеризуется семейством зависимостей, для которых постоянная составляющая является параметром.
| Определяется по соответствующей характеристике для мгновенных значений или экспериментально. Применяется при использовании метода расчета по первым гармоникам |
| Характеристика для действующих значений | Характеристика, связывающая действующие значения синусоидальных и несинусоидальных величин. Если воздействующая величина содержит постоянную составляющую, то нелинейный элемент характеризуется семейством зависимостей, для которых постоянная составляющая является параметром | Определяется по соответствующей характеристике для мгновенных значений или экспериментально. Применяется при использовании метода расчета по действующим значениям |
|
|
|
Графические методы расчета
Графические методы расчета позволяют проводить анализ нелинейных цепей переменного тока для частных значений параметров с использованием характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений, по первым гармоникам и действующим значениям (см. табл. 1).
Графический метод с использованием характеристик для мгновенных значений
В общем случае методика анализа нелинейной цепи данным методом включает в себя следующие этапы:
-исходя из физических соображений находят (если он не задан) закон изменения одной из величин, определяющих характеристику 
нелинейного элемента;
-по нелинейной характеристике для известного закона изменения переменной 
путем графических построений определяют кривую 
(или наоборот);
-с использованием полученной зависимости проводят анализ остальной (линейной) части цепи.
В качестве примера построим при синусоидальной ЭДС 
кривую тока в цепи на рис. 3, ВАХ 
диода в которой представлена на рис. 4.
| 
|
| Рис.4 |
Решение
1. Строим результирующую ВАХ 
цепи (см. рис. 4) согласно соотношению
2. Находя для различных значений 
с использованием полученной кривой соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 5) кривую искомой зависимости 
.
К полученному результату необходимо сделать следующий комментарий. Использование при анализе подобных цепей ВАХ идеального вентиля (обратный ток отсутствует, в проводящем направлении падение напряжения на диоде равно нулю) корректно при достаточно больших значениях амплитуд приложенного к диоду напряжения, определяющих значительное превышение током, протекающим через вентиль в прямом направлении, его обратного тока, вследствие чего последним можно пренебречь. При снижении величин напряжения, когда эти токи становятся сопоставимыми по величине, следует использовать ВАХ реального диода,представленную на рис. 4 и учитывающую наличие обратного тока.
|
|
|
Важнейшим элементом в цепях переменного тока является катушка с ферромагнитным сердечником. В общем случае кривая зависимости 
имеет вид гистерезисной петли, но, поскольку в устройствах, работающих при переменном напряжении, используются магнитные материалы с узкой петлей гистерезиса, в большинстве практических случаев допустимо при расчетах использовать основную (или начальную) кривую намагничивания.
Условное изображение нелинейной катушки индуктивности приведено на рис. 6. Здесь 
– основной поток, замыкающийся по сердечнику, 
- поток рассеяния, которому в первом приближении можно поставить в соответствие потокосцепление рассеяния 
, где индуктивность рассеяния 
в силу прохождения потоком части пути по воздуху.
Для схемы на рис. 6 справедливо уравнение
 ,
| (1) |
где 
.
В общем случае в силу нелинейности зависимости определить на основании (1) несинусоидальные зависимости 
и 
достаточно непросто. Вместе с тем для реальных катушек индуктивности падением напряжения 
и ЭДС, обусловленной потоками рассеивания, вследствие их малости, часто можно пренебречь. При этом из (1) получаем 
, откуда
,
где 
постоянная интегрирования.
Так как характеристика 
катушки (см. рис. 7) симметрична относительно начала координат, а напряжение 
симметрично относительно оси абсцисс (оси времени), то кривая 
также должна быть симметричной относительно последней, откуда следует, что 
.
Находя для различных значений с использованием кривой соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 7) кривую зависимости 
.
Анализ полученного результата позволяет сделать важный вывод: при синусоидальной форме потока напряжение 
на катушке синусоидально, а протекающий через нее ток имеет явно выраженную несинусоидальную форму. Аналогично можно показать, что при синусоидальном токе поток, сцепленный с катушкой, и напряжение на ней несинусоидальны.
|
|
|
Для среднего значения напряжения, наведенного потоком, можно записать
 .
| (2) |
Умножив (2) на коэффициент формы, получим выражение для действующего значения напряжения
. 
В частности, если напряжение и поток синусоидальны, то
.
Соотношение (2) является весьма важным: измеряя среднее значение напряжения, наведенного потоком, по (2) можно определить амплитуды потока 
и индукции 
при любой форме нелинейности катушки.
Аналогично проводится построение кривой при синусоидальном потоке и задании зависимости в виде петли гистерезиса. При этом следует помнить, что перемещение рабочей точки по петле осуществляется против часовой стрелки (см. рис. 8).
К полученному результату следует сделать следующий важный комментарий. Разложение построенной кривой в ряд Фурье показывает, что первая гармоника тока (см. кривую 
на рис. 8) опережает по фазе потокосцепление и, следовательно, отстает по фазе от синусоидального напряжения на катушке на угол, меньший 90°. Это указывает (
) на потребление катушкой активной мощности, затрачиваемой на перемагничивание сердечника и определяемой площадью петли гистерезиса.
Литература
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
Контрольные вопросы и задачи
- В чем заключаются особенности нелинейных цепей переменного тока?
- Какие типы характеристик используются в цепях переменного тока для описания нелинейных элементов?
- В каких случаях допустимо использование при расчетах идеальных ВАХ вентилей?
- Почему нельзя потокосцепление рассеяния катушки представить как произведение числа ее витков и потока рассеяния?
- Как косвенным путем можно определить амплитуду индукции магнитного поля, сцепленного с катушкой?
- Построить кривые
и 
при синусоидальном токе в нелинейной катушке. - Почему первая гармоника разложения кривой тока при учете гистерезисной петли отстает от напряжения на угол, меньший 90°?
- Определить амплитуду основного рабочего потока в сердечнике нелинейной катушки сечением
, если при числе витков 
среднее значение напряжения, обусловленного изменением потока, 
; частота 
.
Ответ: 
.
|
|
|
Лекция N 35
Графический метод с использованием характеристик
по первым гармоникам
При анализе нелинейной цепи данным методом изменяющиеся по сложному закону переменные величины заменяются их первыми гармониками, что позволяет использовать векторные диаграммы.
Основные этапы расчета:
-строится график зависимости 
нелинейного элемента для первых гармоник;
-произвольно задаются амплитудой одной из переменных, например 
, связанной с нелинейным элементом, и по характеристике последнего находят другую переменную 
, определяющую режим работы нелинейного элемента, после чего, принимая все величины синусоидально изменяющимися во времени, на основании построения векторной диаграммы определяется амплитуда первой гармоники 
переменной на входе цепи;
-путем построения ряда векторных диаграмм для различных значений строится зависимость 
, по которой для заданного значения определяется действительная величина , на основании чего проводится окончательный анализ цепи.
Графический метод с использованием характеристик
для действующих значений (метод эквивалентных синусоид)
При анализе нелинейной цепи данным методом реальные несинусоидально изменяющиеся переменные заменяются эквивалентными им синусоидальными величинами, действующие значения которых равны действующим значениям исходных несинусоидальных переменных. Кроме того, активная мощность, определяемая с помощью эквивалентных синусоидальных величин, должна быть равна активной мощности в цепи с реальной (несинусоидальной) формой переменных. Используемый прием перехода к синусоидальным величинам определяет другое название метода - метод эквивалентных синусоид.
Строго говоря, характеристика нелинейного элемента для действующих значений зависит от формы переменных, определяющих эту характеристику. Однако в первом приближении, особенно при качественном анализе, этим фактом обычно пренебрегают, считая характеристику неизменной для различных форм переменных. Указанное ограничивает возможности применения метода для цепей, где высшие гармоники играют существенную роль, например, для цепей с резонансными явлениями на высших гармониках.
|
|
|
Переход к эквивалентным синусоидам позволяет использовать при анализе цепей векторные диаграммы. В связи с этим этапы расчета данным методом в общем случае совпадают с рассмотренными в предыдущем разделе.
Метод расчета с использованием характеристик для действующих значений широко применяется для исследования явлений в цепях, содержащих нелинейную катушку индуктивности и линейный конденсатор (феррорезонансных цепях), или цепях с линейной катушкой индуктивности и нелинейным конденсатором. Кроме того, данный метод применяется для анализа цепей с инерционными нелинейными элементами, у которых постоянная времени, характеризующая их инерционные свойства, много больше периода переменного напряжения (тока) источника питания. В этом случае в установившихся режимах инерционные нелинейные элементы можно рассматривать как линейные с постоянными параметрами (сопротивлением, индуктивностью, емкостью). При этом сами параметры определяются по характеристикам нелинейных элементов для действующих значений и для различных величин последних являются разными.
Феррорезонансные явления
Различают феррорезонанс в последовательной цепи (феррорезонанс напряжений) и феррорезонанс в параллельной цепи (феррорезонанс токов).
Рассмотрим первый из них на основе схемы на рис. 1. Для этого строим (см. рис. 2) прямую зависимости 
, определяемую соотношением
 .
| (1) |
Далее для двух значений сопротивлений 
(
и 
) строим графики зависимостей 
: для -согласно соотношению 
(кривая 
на рис. 2); для -согласно выражению 
(кривая 
на рис. 2).
Точка пересечения кривой 
с прямой соответствует феррорезонансу напряжений. Феррорезонансом напряжений называется такой режим работы цепи, содержащей последовательно соединенные нелинейную катушку индуктивности и конденсатор, при котором первая гармоника тока в цепи совпадает по фазе с синусоидальным питающим напряжением. В соответствии с данным определением при рассмотрении реальной катушки действительная вольт-амперная характеристика (ВАХ) цепи, даже при значении сопротивления последовательного включаемого резистора , в отличие от теоретической (кривая на рис. 2) не касается оси абсцисс и смещается влево, что объясняется наличием высших гармоник тока, а также потерями в сердечнике катушки. С учетом последнего напряжение на катушке индуктивности 
, где 
-сопротивление, характеризующее потери в сердечнике, в режиме феррорезонанса 
не равно напряжению на конденсаторе.
Из построенных результирующих ВАХ цепи видно, что при увеличении питающего напряжения в цепи имеет место скачок тока: для кривой -из точки 1 в точку 2, для кривой -из точки 3 в точку 4. Аналогично имеет место скачок тока при снижении питающего напряжения: для кривой -из точки 5 в точку 0; для кривой -из точки 6 в точку 7. Явление скачкообразного изменения тока при изменении входного напряжения называется триггерным эффектом в последовательной феррорезонансной цепи.
В соответствии с уравнением
| (2) |
на рис. 3 и 4 построены векторные диаграммы для двух произвольных значений тока (
) в режимах до и после резонанса для обеих ВАХ (для -соответственно рис. 3,а и 3,б; для -рис. 4,а и 4,б); при этом соответствующие выбранным токам действующие значения напряжений, входящих в (2), взяты из графиков на рис. 2.
Анализ векторных диаграмм позволяет сделать вывод, что в режиме до скачка тока напряжение на входе цепи опережает по фазе ток, а после скачка-отстает, т.е. в первом случае нагрузка носит индуктивный характер, а во втором-емкостной. Таким образом, скачок тока в феррорезонансной цепи сопровождается эффектом опрокидывания фазы.
Феррорезонанс в параллельной цепи рассмотрим на основе схемы на рис. 5. Для этого, как и в предыдущем случае, строим (см. рис. 6) прямую 
, определяемую выражением (1).
Далее, поскольку 
, в соответствии с соотношением 
строим результирующую ВАХ цепи.
Точка пересечения кривой 
с прямой 
соответствует феррорезонансу токов. Необходимо отметить, что в реальном случае действительная ВАХ цепи в отличие от теоретической не касается оси ординат, что объясняется наличием высших гармоник тока и неидеальностью катушки индуктивности.
Из построенной ВАХ видно, что при увеличении тока источника имеет место скачок напряжения. Явление скачкообразного изменения напряжения при изменении входного тока называется триггерным эффектом в параллельной феррорезонансной цепи.
На рис. 7 для двух (до и после резонанса) значений напряжения (
и 
) построены векторные диаграммы; при этом соответствующие выбранным напряжениям действующие значения токов 
и 
взяты из графиков на рис. 6.
Анализ векторных диаграмм показывает, что в режиме до скачка напряжения ток источника опережает по фазе входное напряжение (рис. 7,а), а после скачка (рис. 7,б) -отстает, т.е. в первом случае нагрузка носит емкостной характер, а во втором-индуктивный. Таким образом, скачок напряжения связан с эффектом опрокидывания фазы.
|
|
|
