 |
Расчет функции предельной эффективности ресурсов (теневых цен), поступающих на данное предприятие.
|
|
|
|
Как правило, наряду с проблемой расчета оптимальной производственной программы при заданных на плановой период ограниченных ресурсах рассматривается проблема оптимального расширения существующего производства за счет дополнительного привлечения ресурсов к уже имеющимся объемам. Для выбора оптимальной стратегии расширения производства нужно знать, какой прирост достигнутого максимума выручки следует ожидать от дополнительного привлечения единицы того или иного ресурса при сохранении других ресурсов в прежнем объеме. Эту проблему рассмотрим на примере составленной и решенной графически в модели расчета оптимальной производственной программы.
При сохранении лимитов по другим ресурсам исследуем зависимость максимума выручки от изменения лимита молока в диапазоне от нуля до бесконечности. Это значит, что при графическом анализе прямые линии, соответствующие наполнителю и спросу будут оставаться на своих местах, а прямая линия, соответствующая ограничению по молоку будет изменять свое положение от нуля до бесконечности (см.рис.3.13).
Рис. 3.13.
Предположим, что предприятие имеет запас молока в 75 кг, вместо заданного в исходных данных 400 кг, т.е. первое ограничение исходной задачи будет выглядеть как 0,8x1 + 0,5x2≤75 тогда область допустимых решений задачи будет представлена треугольником, образованным этой прямой и осями координат. Для определения оптимального решения на таком треугольнике можно либо использовать градиент целевой функции. Оптимальное решение в данном случае (рис 3.13) будет точка G с координатами x1 =0; x2=150.
Решение двойственной задачи для данной ситуации найдем по составленным выше условиям «дополняющей нежесткости». Из группы условий (3.12), так как 350-x2=350-150=200>0; 100-0+150=250>0 и 365-0,4×0-0,8×150=245>0, следует, что наполнитель и спрос не лимитируют производственную программу (пассивные ограничения), т.е. находится в избытке, а значит u2=u3=u4=0
|
|
|
Из группы условий (3.13) следует, что, если второй продукт выпускается по оптимальной производственной программе, т.е. x2=150 то должно выполняться равенство
0,5u1+0,8u2-u3+u4-14=0
Из последнего уравнения с учетом u2 =u3=u4=0 получим u1=28
При повышении лимита потребления молока треугольник, отражающей ОДР, будет увеличиваться (см.рис.3.14).
Рис.3.14
При этом соответствующие оптимальные программы будут находиться на оси ординат, а вышеприведенные расчеты предельной эффективности сырья будут приводить к результату u1=28. Такая ситуация будет качественно сохраняться до тех пор, пока оптимальная программа не совпадает с точкой А. Программу А, наряду с ограничением по молоку начнет лимитировать ограничение по спросу на шоколадное мороженое. Поэтому расход молока на программу A(0,350) покажет правую границу диапазона устойчивости предельной эффективности u1=28. Каждый следующий за этой границей килограмм сырья будет расходоваться с меньшей предельной эффективностью.
Для расчета расхода сырья на программу (А) подставим ее координаты в левую часть ограничения по молоку, а именно:
0,8×0+0,5×350=175
Результаты последних расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм сырья в диапазоне от 1 до 175 будет давать прирост максимума дохода 28 руб.
Для ответа на вопрос, будет ли прирастать максимум выручки при увеличении запаса молока сверх 175, нужно сравнить значения выручки для программы (А) и программы (В) (рис.3.15)
Прежде всего, найдем координаты точки (В), решив систему уравнений прямых, соответствующих молоку и спросу на шоколадное мороженое.
Координаты точки В: х1=212,5; х2=350
Рис.3.15
Значение дохода в точке B будет равно 16×215,5+14×350= 8 300 руб.
|
|
|
Значение дохода в точке A равно: 16×0+14×350=4900 руб.
Очевидно, что F(B)>F(A). Это означает дальнейший рост максимума выручки от 4300 руб. до 8300 руб. ОДР будет представлена пятиугольником, образованным осями координат, ограничения по спросу и меняющимся ограничением по молоку.
Оптимальные программы будут находиться на отрезке AB. Характеризует эти программы тот очевидный факт, что по ним выпускается два продукта x1>0, x2>0 ограничения по наполнителю и спросу на сливочное мороженое не являются лимитирующим ресурсом для этих программ.
Отсюда из первой группы условий (3.11) следует, что u2=u3=0
Из группы условий (3.12) следует, что если оба продукта выпускаются, должны выполняться равенства
0,8u1+0,4u2+u3-16=0
0,5u1+0,8u2-u3-14=0
Из этих двух уравнений с учетом u2=u3=0 перейдём к решению следующей системы:
0,8u1=16
0,5u1+u4=14 откуда u1=20
Для того чтобы получить правую границу диапазона устойчивости вычисленной предельной эффективности u1=20, необходимо рассчитать расход молока для программы B
0,8×212,5+0,5×350=345 кг
Результаты текущих расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм молока в диапазоне от 176 до 345 кг будет давать прирост дохода на 20 руб.
Для ответа на вопрос, будет ли расти максимум дохода при увеличении запаса молока свыше 345 кг обратимся к рис.3.16
Рис. 3.16.
Из него следует, что ограничение по молоку можно двигать вправо по направлению вектора-градиента до точки М, при этом выручка все время будет расти, достигая максимума в точке М, т.е ограничения по молоку и наполнителю будет оставаться дефицитными, а ограничения по спросу- не дефицитными. Согласно условиям «дополняющей не жесткости» получаем систему уравнения (u3=u4=0);
0,8u1+0,4u2-16=0
0,5 u1+0,8u2-14=0
Эту систему мы уже решали и получили u1=16,36 при расходе молока в точке М равным 432,1 кг М [(370,83;270,3)и 0,8×370,83+0,5×270,3=432,1]
То есть каждый дополнительный кг. молока в диапазоне 345-432,1 кг будет зависеть прирост дохода на 16,36 руб.
Если запас молока увеличить сверх 432,1 кг., то этот ресурс становится недефицитным и его предельная эффективность становится нулевой (u1=0) в диапазоне (432,1; ∞). Сведем все данные в табл. и изобразим графически
Используя информацию из этих таблиц, построим график этих функций.(рис.3.17)
|
|
|
Рис.3.17. Изменения предельной эффективности ресурса «молоко».
Рис.3.18. Изменения максимума дохода в зависимости от наличия молока.
Вид графика на рисунке еще раз демонстрирует известный закон убывания эффективности ресурса с ростом объемов производственного потребления. Ступенчатость графика и наличие точек разрыва функции эффективности объясняется тем, что исследование проводилось на основе линейного моделирования, в общем – то, нелинейных экономических связей.
|
|
|
