Раздел II. Функции нескольких переменных.
23. N-мерная точка, n-мерное арифметическое пространство
. Расстояние в
. N-мерный шар. Окрестность точки в
. Классификация точек (предельные, внутренние, граничные). Множества точек в
(открытые, замкнутые, ограниченные, связные, выпуклые).
24. Понятие функции 2-х переменных, n-переменных. Естественная область определения ФНП, график функции 2-х переменных, линии и поверхности уровня.
25. Частные и полное приращения ФНП. Понятия предела и непрерывности ФНП. Свойства функций непрерывных в ограниченной и замкнутой области.
26. Частные производные первого и высших порядков, их нахождение.
27. Понятие дифференцируемости ФНП в точке. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
28. Взаимосвязь понятий: дифференцируемость ФНП в точке, непрерывность в точке, существование в точке конечных частных производных.
29. Геометрический смысл дифференцируемости ФНП в точке. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в данной точке.
30. Дифференциалы ФНП первого и высших порядков, их нахождение. Применение первого дифференциала в приближённых вычислениях.
31. Производная по направлению и градиент, связь между ними.
32. Неявная ФНП, условия её существования и дифференцируемости. Правила вычисления производных неявной функции.
33. Точки локального экстремума (максимума и минимума) и локальные экстремумы ФНП. Стационарные и критические точки. Необходимое и достаточное условия локального экстремума ФНП.
34. Условный экстремум ФНП. Функция Лагранжа. Нахождение условного экстремума методом неопределённых множителей Лагранжа.
35. Глобальные экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) ФНП в ограниченной и замкнутой области, их нахождение.
Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
Семестр 2.
1.1-30. Найти производную
:
а)
; б)
; в) 
Нахождение производной
функции
заданной явно, с помощью правил дифференцирования:
(
),
,
,
,
,
,
,
сводят к нахождению табличных производных.
Производную
функции
заданной параметрическими уравнениями
находят в параметрическом виде по формуле
.
Решение.
а)
, где
=
;


Тогда
.
б)
, где


.

.
Тогда 
.
в)

.
Ответ: а)
б)
.
в) 
2.1-30. Найти а) производную функции
, заданной параметрически; б) производную функции
, заданной неявно.
а) Производную функции
, заданной параметрическими уравнениями
находим по формуле
, где

;
.
Тогда
.
б) Уравнение
неявно определяет функцию
. Дифференцируя его по x, получим:
.
Выразим 
;
.
Ответ: а)
б)
.
3.1-30. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
а)
; б)
; в)
.
Вычисление предела
, где
, всегда начинают с подстановки в
предельного значения её аргумента
. Если в результате получают неопределённость
или
, то для её раскрытия применяют правило Лопиталя:
, где
и
- функции, дифференцируемые в окрестности
. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила. На каждом этапе его применения следует использовать, упрощающие отношение, тождественные преобразования, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приёмами вычисления пределов. Раскрытие неопределённостей вида:
,
,
,
,
путём преобразований:
,
,
сводят к раскрытию неопределенностей вида
или
.
Решение.
а)
, где
,

Тогда
.
б)
, где


,

.
Тогда
. Применяем правило Лопиталя ещё раз:
, где
,

=
.
Тогда
.
в)
. Преобразуем данную неопределённость (приведением разности дробей к общему знаменателю) к виду
, после чего применим правило Лопиталя. Получим 
=
, где
,
.
Тогда
.
Применяем правило Лопиталя ещё раз:
, где
,

.
В итоге получим
.
Ответ:
а)
; б)
;в)
.
4.1-30. Для указанной функции
требуется провести полное исследование функции и построить её график:
;
Для построения графика функции
нужно:
1) найти область определения функции;
2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;
3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;
4) найти точки пересечения графика с осями координат;
5) найти асимптоты графика функции;
6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;
7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Решение.
1) Находим область определения функции:
=
).
2) Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения
, а точками разрыва являются точки
и
, не принадлежащие множеству
, но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках
и
, вычислив в них односторонние пределы функции:
,
,
,
.
Так как односторонние пределы функции в точках
и
- бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.
3) Функция не является периодической.
Функция
, в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является.
Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции
=
) не симметрична относительно точки
, то данная функция – общего вида.
4) Находим точки пересечения графика с осями координат.
Так как
, то точек пересечения графика с осью
нет.
Положим
и решим уравнение
. Его решением является
. Следовательно, точка
- точка пересечения графика с осью
.
5) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
Прямая
является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда
является точкой бесконечного разрыва функции
.
Так как точки
и
- точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые
и
.
Прямая
является наклонной асимптотой графика функции
при
тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы:
и
.
Вычисляем сначала пределы при
:
,
.
В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел: 
Следовательно
, т.е.
- наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при
.
Аналогично вычисляем пределы при
:
,
Следовательно
, т.е.
- наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при
.
6) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:


и определяем критические точки функции
, т.е. точки
в которых
или
не существует:
;
не существует при
и
.
Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции
является точка
.
Исследуем знак производной
в интервалах, на которые критические точки функции
разбивают её область определения
, и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
|
|
|
|
|
|
| +
| +
|
|
|
|
| возрастает
| возрастает
|
| убывает
| убывает
|
Так как при переходе слева направо через точку
производная
меняет знак с «+» на «
», то точка
является точкой локального максимума и
.
7) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:


и определяем точки возможного перегиба
, т.е. точки
в которых
или
не существует:
, так как
(квадратное уравнение не имеет действительных корней);
не существует при
и
.
Таким образом, функция
не имеет точек возможного перегиба.
Исследуем знак второй производной
в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции
разбивают её область определения
, и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
|
|
|
|
| +
|
| +
|
| график вогнутый
| график выпуклый
| график вогнутый
|
Точек перегиба нет.
8) На основании полученных результатов строим график функции (рис.3)

Рис.3.
Ответ: Рис.3.
5.1-30. Для указанной функции
требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
:
,
.
Наибольшее и наименьшее значения функции
непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке
достигается или в точках
, в которых
или
не существует, или на концах отрезка.
1) Находим первую производную функции:

и определяем внутренние критические точки функции
, т.е. точки
в которых
или
не существует:
, точек
в которых
не существует нет. Таким образом, единственной внутренней критической (стационарной) точкой функции
на отрезке
является точка
.
2) Вычисляем значения функции
во внутренних критических точках и на концах отрезка
:
,
,
.
3) Сравниваем значения
,
,
и находим наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
:
,
.
Ответ:
, 
6.1 – 30. Для указанной функции
требуется: а) найти полный дифференциал
; б) вторую частную (смешанную) производную
; если
.
Полный дифференциал функции
имеет вид
.
Частные производные функции
вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что если производная берётся по аргументу
(аргументу
), то другой аргумент
(аргумент
) считается постоянным.
Решение.
а) Находим частные производные первого порядка
и
функции
:

;

.
Тогда полный дифференциал
функции имеет вид:
.
б) Вторую частную производную
(или кратко
) находим как первую частную производную по аргументу
от функции
:


.
Ответ: а)
, б)
;
7.1 – 30. Для функции
, заданной неявно, найти частные производные
и
.

Для функции
, заданной уравнением
справедливы формулы:
,
, при условии
.
В данном примере
. Найдем частные производные функции
:
;
;
;
Тогда, учитывая что
,
, получим:
;

Ответ: а)
, б)
.
8.1 – 30. Найти локальные экстремумы функции 
.
Для нахождения локальных экстремумов дифференцируемой функции
необходимо: 1) Найти область определения
функции. 2) Найти первые частные производные
и
функции. 3) Решить систему уравнений (необходимое условие экстремума)
и найти точки
(с учётом возможных дополнительных ограничений на значения аргументов
и
) возможного локального экстремума функции. 4) Найти вторые частные производные
,
,
; составить выражение
и вычислить значения
и
в каждой точке
возможного экстремума. 5) Сделать вывод о наличии экстремумов функции
, используя достаточное условие экстремума: если
, то в точке
экстремума нет; если
и
, то в точке
- локальный минимум; если
и
, то в точке
- локальный максимум; если
, то требуется дополнительное исследование точки
(например, по определению). 6) Найти локальные экстремумы (экстремальные значения) функции.
Решение.
1) Находим область определения функции
.
2) Находим первые частные производные
и
:

;

.
3) Составим систему уравнений
и решим её. Получим четыре решения:
,
,
,
. Из них точками возможного экстремума функции
в области
являются только две точки:
и
.
4) Находим вторые частные производные:

;

;
,
составляем выражение
и вычисляем:
;
,
.
5) Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как:
, то в точке
экстремума нет;
,
, то в точке
- локальный минимум.
6) Находим локальный минимум
.
Ответ:
.
9.1–30. Найти условные экстремумы функции
приусловии
.
Для нахождения методом Лагранжа локальных экстремумов дифференцируемой функции
при условии
необходимо: 1) Найти область определения
функции. 2) Составить функцию Лагранжа
, где
- неопределённый постоянный множитель Лагранжа. 3) Решить систему уравнений (необходимое условие условного экстремума)
и найти точки
возможного условного локального экстремума и соответствующие им значения
множителя Лагранжа. 4) Найти выражение второго дифференциала функции Лагранжа
в точках
при условии, что
и
связаны уравнением
. 5) Сделать вывод о наличии экстремумов функции
приусловии
, используя достаточное условие условного экстремума. Если для всех
,
(одновременно), связанных уравнением
,
, то в точке
- локальный максимум; если
, то в точке
- локальный минимум. Если
принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке
экстремума нет. 6) Найти локальные условные экстремумы функции
.
Решение.
1) Находим область определения функции
.
2) Составляем функцию Лагранжа:
.
3) Записываем необходимое условие условного экстремума
,
где:
,
. Получим
. Решая систему, находим две точки возможного условного экстремума функции
вобласти
и соответствующие им значения множителя Лагранжа
:
при
и
при
.
4) Находим выражение второго дифференциала функции Лагранжа


.
Вычисляем
при условии
, учитывая, что:
;
.
Получим:

;

.
5) Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как для всех
:
, то в точке
- условный локальный минимум;
, то в точке
- условный локальный максимум.
6) Находим условные минимум и максимум функции
при условии
:
, 
Ответ:
,
при условии
.
10.1–30. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
в области D:

Функция
, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области
, достигает своего наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках
, или в точках границы
области
. Для их нахождения необходимо: 1) Найти все стационарные точки
функции и вычислить в них значения функции
. 2) Найти наибольшее
и наименьшее
значения функции на границе
, задаваемой одним аналитическим выражением в явном виде
или
. Если
, где
задаются одним аналитическим выражением в явном виде, то находят наибольшие и наименьшие значения
и
функции на каждом из участков
границы. 3) Сравнить значения функции
,
,
и выбрать из них наибольшее
и наименьшее
значения функции в области
.
Решение. Изображаемобласть
(она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми
,