 |
Виды арифметических задач.
|
|
|
|
Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий называется составной.
Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия. [2, с. 175]
Рассмотрим в качестве примера задачу: «В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько детей дежурило в школе?»
Эта задача включает две простых:
В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько мальчиков дежурило в школе?
В школе дежурили 8 девочек и 10 мальчиков. Сколько всего детей дежурило в школе?
Как видим, число, которое было искомым в первой задаче, стало данным во второй.
Последовательное решение этих задач является решением составной задачи: 1)8 + 2=10; 2)8+10=18.
Методика работы с каждым новым видом составных задач ведется в соответствии с тремя ступенями: подготовительная, ознакомительная и закрепление.
Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения её в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.
В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которыми вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи. Для того, чтобы научить учащихся правильно решать составные задачи, необходимо использовать разные виды текстов задач.
|
|
|
Тексты задач могут различаться по разным основаниям. Рассмотрим их.
I. По структуре текста задачи.
Необходима специальная работа по выделению структурных элементов задачи в текстах различной конструкции. Остановимся на этом подробнее.
В каждой задаче можно выделить условие и требование. Обозначим схематически условие О, а требование. Тогда задача может иметь одну из конструкций: 1, 2 или 3:
1. О:
1) Дети пошли в поход. Было 13 мальчиков и 10 девочек, позже к ним присоединились еще 5 детей. Сколько детей пошло в поход?
2) В один бидон вмещается 32 л воды, а во второй - на 12 л меньше. Найди емкость двух бидонов вместе.
2. О:
3) Сколько марок подарил Петя, если Сереже он подарил 8 марок, а Коле на 5 марок больше?
4) Сколько пассажиров совершало полет, если в самолете было 25 женщин, мужчин на 15 человек больше, чем женщин, а детей на 10 человек меньше, чем женщин?
3. О О:
5) Мама испекла 20 пирожков. Сколько пирожков осталось после того, как за ужином папа съел пирожков, а сын 5 пирожков?
6) Когда отцу было 40 лет, сыну было 12. Найди возраст сына, когда отцу будет 52 года.
Очевидно, что ученику легче всего выделить условие и требование задачи в первом случае. При чтении задачи он опирается на внешние признаки: сначала формулируется условие, в последнем предложении высказывается требование. Если мы хотим научить выделять структурные элементы задачи и при этом ориентироваться не на внешние признаки, а на смысл, то необходимо предлагать тексты задач различной конструкции. При этом важно, чтобы требование было представлено как в виде вопросительного, так и в виде повествовательного предложения, например:
|
|
|
7) Для отделки одной шторы требуется 8 м тесьмы. Найди длину мотка тесьмы, которая необходима для отделки трех пар таких штор.
II. По записи данных.
В большинстве приведенных примеров необходимые данные записаны с помощью цифр. Выделяя условие и требование, ученики часто только на них и ориентируются. Увидев числа, просто не читают текст, сразу пытаются манипулировать числами. Вот поэтому полезно предлагать тексты задач, где необходимые данные фиксируются разными способами: с помощью цифр, букв, сказочных чисел, словом и т. д. В таком случае ученик будет вынужден внимательно читать задачу, находить связи между данными величинами и искомым.
Приведем примеры таких задач.
8) На горке каталось □ детей. Когда к ним подошло * мальчиков и несколько девочек, то стало О детей. Сколько девочек подошло?
При использовании таких задач видно, на что опирается ребенок при решении задачи: на числовые данные или на смысл задачи. Решение этой задачи может быть записано следующим образом:
Подошло (О - □ - *) девочек.
III. По наличию лишних или недостающих данных.
Для того чтобы научить ученика устанавливать взаимосвязь между искомым и данными, очень полезно предлагать задачи с лишними и недостающими данными, а также задачи, не имеющие по разным причинам решения.
Приведем примеры таких задач.
9) На первой полке лежало 30 книг, на второй - 40, а на третьей на 5 книг
больше, чем на второй. Сколько книг лежало на третьей полке?
Эта задача с лишними данными. Для ее решения нет необходимости знать количество книг, лежащих на первой полке. Для того чтобы правильно ее решить, ученик должен установить, какие величины связаны между собой, а какие нет. Наблюдения показывают, что те дети, которые невнимательно читают задачу, ориентируются только на числовые данные, решают ее неправильно, дают ответ: 25 книг. Они не видят, какие величины сравниваются, не видят необходимое числовое данное - 40 книг на второй полке.
10) Сколько груш росло в саду, если их было на 35 деревьев больше, чем яблонь?
|
|
|
Эта задача с недостающими данными. Анализируя текст, ученик должен сказать, что она не имеет решения, так как в ней не хватает данных. Будет очень хорошо, если он сможет указать недостающее данное, например количество яблонь.
11) Маша в саду собирала ягоды. Она набрала 2 кг смородины и 5 стаканов малины. Сколько ягод собрала Маша?
Данную задачу решить нельзя, так как масса ягод измерена разными мерками, над указанными числами в таком случае производить арифметические действия нельзя.
Такого вида задачи приучают не только внимательно читать текст задачи, но выявлять уровень знаний о величинах.
12) В автобусе ехало 37 человек. Сколько человек осталось в автобусе после того, как на остановке вышло 40 человек?
Данную задачу также решить нельзя, так как предложенные числовые данные не соответствуют смыслу задачи. [23, с. 51]
Примеры текстов задач, которые мы привели, помогут убедить ученика в необходимости анализа текста задачи.
Не успев прочитать задачу, ученики начинают выполнять какие-то арифметические действия с данными числами. Это становится причиной ошибок. Поэтому необходимо научить ученика не торопиться с выбором арифметического действия. Он должен понять, насколько важно внимательно читать текст задачи и может быть не один раз. Для формирования этого умения необходимы специальные задания. Одним из важнейших таких заданий является работа по преобразованию задачи.
Этапы работы над задачей
Процесс решения задачи - это переход от условия задачи к ответу на ее вопрос.
Первые представления о процессе решения задач создаются у учащихся в первом классе. Ко второму классу они уже знают, что решение любой арифметической задачи состоит из следующих этапов работы:
1. Усвоение содержания текста.
Цель:
· научить понимать ситуацию в целом;
· установить смысл каждого слова, словосочетания, предложения;
· приучиться читать задачу;
· выделить структурные элементы;
· установить взаимосвязь между искомым и данными;
2. Поиск решения задач.
|
|
|
Цель:
· научить ученика задавать самому себе систему вопросов (от вопроса к условию, от условия к вопросу и др.), после ответа на которые он сможет найти решение;
·составить план решения;
3. Оформление решения.
Цель:
· записать решение так, чтобы оно было понятно читающему;
4. Проверка решения.
Цель:
· убедиться в правильности найденного решения.
5. Работа с решенной задачей.
Цель:
· организовать деятельность ученика так, чтобы он осознал свое продвижение от незнания к знанию;
Царева С.Е. опираясь на диссертацию Лебединцевой В.А., [31, с. 102] предлагает несколько другой подход к выделению этапов решения задачи:
1. Восприятие и осмысление задачи.
Цель:
· понять задачу, т.е. установить смысл каждого слова, словосочетания, предложения;
· выделить множества, отношения, величины, зависимости, известные и неизвестные, искомое, требование.
2. Поиск плана решения.
Цель:
· составить план решения.
3. Выполнение плана решения.
Цель:
· найти ответ на вопрос задачи (выполнить требование задачи);
4. Проверка решения.
Цель:
· установить, соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения;
5. Формировка ответа на вопросы задачи (выводы о выполнении требования).
Цель:
· дать ответ на вопрос задачи (подтвердить факт выполнения требования задачи);
6. Исследование решения.
Цель:
· установить, является ли данное решение (результат решения) единственным или возможны и другие результаты (ответы на вопрос задачи), удовлетворяющие условию задачи;
Более в сокращенном виде видит этапы работы над задачей Бантова М.А. [2, с. 174]:
1. Ознакомление с содержанием задачи.
Цель: прочитать задачу; представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче;
2. Поиск решения задачи.
Цель: выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа; установить связи между данными и искомым; выбрать соответствующие арифметические действия.
3. Выполнение решения задачи.
Цель: записать решение.
4. Проверка решения задачи.
Цель: установить правильно оно или ошибочно.
Представленные выше различные подходы к выделению этапов работы над задачей имеют много общего. Во-первых, каждый этап решения есть сложное умственное действие, входящее в состав еще более сложного - решения задачи. Во-вторых, работа над задачей начинается и у Бантовой М.А., и у Туркиной В.М, и у Царевой С.Е., с прочтения, понимания задачи и выделения ее структурных элементов, т.к. именно невнимательно прочитанная задача, отсутствие анализа ее текста становятся причиной ошибок в процессе решения задач.
Поэтому при работе с задачей важно уделить как можно больше внимания 1 этапу решения задачи - усвоению содержания ее текста.
|
|
|
Главная цель ученика на 1 этапе - понять задачу. Методисты предлагают разные приемы работы на этом этапе. Бантова М.А., Царева С.Е. предлагают следующие приемы первичного анализа:
1. Представление жизненной ситуации, описанной в задаче, мысленное участие в ней. (Можно предложить учащимся после чтения задачи нарисовать словесную картинку).
2. Разбиение текста на смысловые части и выбор необходимой для поиска решения. (Можно предложить учащимся определить, правильно ли выделены части и повторить текст задач по частям).
3. Переформулировка текста задачи; замена описания данной в ней ситуации другой, сохраняющей все отношении и зависимости, но более точно их выражающие.
Анализ текста задачи неразрывно связан с этапом поиска решения.
Анализ задачи проводится до тех пор, пока не возникнет идея о плане решения, который позволяет нам рассуждать: от вопроса к данным и от данных к вопросу.
Для поиска решения Бантова М.А., Царева С.Е. предлагают использовать краткую запись. В краткой записи задачи отображаются объекты, числовые данные и связи между ними. Таким образом, краткая запись фиксирует в удобообразной форме величины, числа данные и искомые, а также некоторые слова, показывающие, о чём говорится в задаче: «было», «положим», «стало» и т.п., и слова, обозначающие отношения: «больше», «меньше», «одинаковая» и т.п.Краткая запись условия задачи помогает устранить типичные ошибки, не дает возможности поверхностного прочтения текста задачи и возможности упустить соотношения между данными.
Краткая запись задачи только в первое время несколько трудна учащимся, но учитель постоянно им помогает наводящими вопросами: Какие слова нужны для краткой записи? Какие числа надо вписать в краткое условие? Какие обозначения будем использовать?
Для того, чтобы помочь ученикам, учитель пользуется наглядностью: предметной, а затем абстрактным вариантом, а также использует краткую запись, которая подразделяется на предметную и схематическую.
Предметная краткая запись - это использование предметов для изображения ситуации, описанной в задаче. Предметная иллюстрация помогает создать яркое представление той жизненной ситуации, которая описывается в задаче. Для иллюстрации задачи используются либо предметы, либо рисунки предметов, о которых идет речь в задаче: с их помощью иллюстрируется конкретное содержание задачи.
Например: У Коли 5 тетрадей, а у Миши на 4 тетради больше. Сколько тетрадей у обоих мальчиков?
Выходят 2 мальчика, один из них берет 5 тетрадей, другой берет столько же тетрадей, сколько и первый, а затем еще 4. Такое воспроизведение уточняет представление детей, которое возникло при восприятии задачи. Но если мальчики будут держать тетради в руках и не уберут их, то у ребят не вызовет сложности над выбором действия, им не надо будет мысленно представлять ситуацию, а можно просто путем пересчета сосчитать тетради.
Если использовать предметное моделирование длительное время как основной способ, то возникнут отрицательные последствия:
· ученики не смогут построить мысленную модель без этой опоры;
· у учеников не будет происходить развитие внутреннего плана действия;
Схематичная краткая запись подразделяется на несколько видов:
а) со словами.
Например: Девочка нашла в лесу 10 белых грибов, а подосиновиков на 7 больше. Сколько всего грибов нашла в лесу девочка?
Белые – 10г.
Подосиновики -? на 7г. больше.
б) таблица.
Если в задаче используется три величины и более, то удобнее применять табличную форму краткой записи. При табличной форме требуется выделение и название величины. Расположение числовых данных помогает установлению связей, между величинами: на одной строке записываются соответствующие значения различных величин, а значения одной величины записываются одно под другим. Искомое число обозначается вопросительным знаком.
Например: «В четырех одинаковых коробках 48 карандашей. Сколько карандашей в одной коробке?»
Таблица выглядит так:
| Количество карандашей в 1 коробке | Количество коробок | Общее число карандашей |
| ? одинаковое | 4 | 48 |
При первичном знакомстве с такой задачей таблица мало чем помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие. Но если учащиеся хорошо усвоили взаимосвязь пропорциональных величин, то таблица будет очень удобна для изображения задачной ситуации.
в) графическая модель (рисунки, чертежи).
Можно применять самые простейшие рисунки, в виде кружков, квадратов, треугольников, точек, полосок и т.д., обозначающих те предметы, о которых говорится в задаче.
Например: На блюде лежало 15 яблок: красных, зеленых и желтых. Красных – 5, желтых столько же, да еще одно. Сколько зеленых яблок лежало на блюде?
- Сколько яблок лежало на блюде? (15)
- Нарисуем 15 кружков. Каждый кружок означает одно яблоко (красное, желтое или зеленое), лежащее на блюде.
- Сколько лежало красных яблок? (5).
- Значит, из нарисованных 15 кружков закрасим красным карандашом 5 кружков.
- Каждый закрашенный кружок означает одно красное яблоко. Остальные яблоки – зеленые и желтые. Тогда о зеленых и желтых яблоках можно сказать, что их 15 без 5, т.е. 15-5.
Решение: 15-5=10 (я.) желтых и зеленых
- Сколько лежало желтых яблок? (столько же, сколько и красных, да еще одно).
- Значит, из незакрашенных кружков закрасим желтым карандашом 5 кружков да еще один.
- Каждый закрашенный кружок означает одно желтое яблоко. Остальные яблоки – зеленые. Тогда о зеленых яблоках можно сказать, что их 10 без 5 и 1, т.е. 10-5-1.
Решение: 10-5-1=4 (я.) зеленых.
Ответ: 4 зеленых яблока
При таком графическом изображении ученики пользуются пересчетом, как и при предметном моделировании. Такое графическое моделирование невозможно использовать при больших числовых данных. Поэтому лучше использовать такое графическое средство как чертеж. Иллюстрацию в виде чертежа целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения значений величин (больше, меньше, столько же), а также при решении задач, связанных с движением. При этом надо соблюдать указанные в условии отношения: большее расстояние изображать большим отрезком. Чертеж наглядно иллюстрирует отношение значений величин, а в задачах на движение схематически изображает соответствующую ситуацию. Одно из чисел данных в задаче (число детей, число метров в материи) изображают отрезком и, используя данные в задаче соотношения этого числа и других чисел, изображают эти числа (в 2 раза больше, на 4 кг меньше) соответствующим отрезком.
Например, для рассмотренной задачи про яблоки, можно выполнить такой чертеж:
Иллюстрация только тогда поможет ученикам найти решение, когда её выполняют сами дети, поскольку только в этом случае они будут анализировать задачу сами.Дети могут установить связи между данными и искомым и выбрать соответствующее арифметическое действие только с помощью учителя. В этом случае учитель проводит специальную беседу, которая называется разбором задачи.Рассуждение можно строить двумя способами: идти от вопроса задачи к числовым данным или же от числовых данных идти к вопросу.
Чаще следует использовать первый способ рассуждения, так как при этом ученик должен иметь в виду не одно выделенное действие, а все решение в целом. При использовании второго способа разбора учитель прямо подводит их к выбору каждого действия. Кроме того, такое рассуждение может привести к выбору «лишних действий».
Разбор составной задачи заканчивается составлением плана решения – это объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по порядку арифметических действий.
Третий этап деятельности учащихся по решению задачи – оформление решения. Ученики справляются с этим этапом достаточно хорошо. Если при разборе задачи и поиске решения использовался чертеж, то ошибок в записи решения бывает очень мало.
При решении некоторых видов задач необходима проверка решения. Бантова М.И., Царева С.Е., выделяют следующие виды проверок:
1.Прикидка ответа.
Применение этого способа проверки заключается в следующем: до решения или после него устанавливают, какое число получится в результате, большее или меньшее, чем данное в условии.
2.Решение задачи другим способом.
Этот способ проверки интересен тем, что является одним из средств повышения интереса к математике.
Царева С.Е. [31, с. 103] считает, что применение метода поиска нового способа решения - средство развития познавательного интереса, умения отстаивать свою точку зрения.
3.Установление соответствия между числами полученными и данными.
Обосновать правильность решения задачи можно с помощью арифметических действий и логических рассуждений о том, что, если считать полученный результат верным, то все отношения и зависимости между данными и искомыми задачи будут выполнены.
4.Составление и решение обратной задачи.
Составление обратной задачи и ее решение иногда является единственным способом проверки.
Этот вид проверки делает прочными знания об обратных связях.
Заключительным этапом в работе над задачей является работа после решения задачи. В методической литературе опубликовано немало статей (Царева С.В., Шикова Р.Н.), где описаны виды дополнительной работы над уже решенной задачей. На практике можно увидеть эффективность этих видов работы. К сожалению, пользоваться этими видами работы приходится мало, так как не разработана методика работы на этом этапе.
Многие авторы и методисты уделяют много внимания последнему этапу: работе с задачей после ее решения.
В методической литературе даются разные виды такой работы, но вот как научить детей преобразовывать задачи не говориться.
|
|
|
