 |
Отсутствие сходимости функции root
|
|
|
|
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Директор ИК
_____________ М.К.Сонькин
«____»_____________2011 г
Т.Е. Мамонова
Лабораторная работа № 4
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В MATHCAD
Методические указания по выполнению лабораторных работ
по курсу «Информационные технологии» для студентов I курса,
обучающихся по направлениям:
220700 «Автоматизация технологических процессов и производств»,
221000 «Мехатроника и робототехника»
Издательство
Томского политехнического университета
УДК 519.6
ББК 00000
А00
Мамонова Т.Е.
А00 Решение уравнений в MathCAD. Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу «Информационные технологии» для студентов I курса, обучающихся по направлениям 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств»,221000 «Мехатроника и робототехника» / Т.Е. Мамонова. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 14 с.
УДК 519.6
ББК 00000
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры интегрированных
компьютерных систем управления ИК
«13» января 2011 г.
Зав. кафедрой ИКСУ
доктор технических наук _________________ А.М. Малышенко
Председатель учебно-методической
комиссии _________________ В.Н. Шкляр
Рецензент
Доцент ИКСУ ИК НИ ТПУ кандидат технических наук
В.Н. Шкляр
© ГОУ ВПО «Томский политехнический
университет», 2011
© Мамонова Т.Е., 2011
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2011
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
Решение уравнений в MathCAD
Цель работы: изучить и приобрести навыки использования основных функций для решения уравнений в математическом пакете MathCAD.
|
|
|
Теоретическая часть
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Однако такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного системной переменной TOL).
Численное решение нелинейного уравнения
Для простейших уравнений вида f (x) = 0 решение в MathCAD находится с помощью функции root (рис. 1).
Рис.1. Решение уравнений средствами MathCAD
root(f (х 1, x 2, …), х 1, a, b) – возвращает значение х 1, принадлежащее отрезку [ a, b ], при котором выражение или функция f (х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.
Аргументы:
f (х 1, x 2, …) -функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.
х 1 -- имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. MathCAD использует его как начальное приближение при поиске корня.
a, b – необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b.
Приближённые значения корней (начальные приближения) могут быть:
1. Известны из физического смысла задачи.
2. Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.
3. Найдены графическим способом.
Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f (x) = 0 - это точки пересечения графика функции f (x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f (x) и отметить точки пересечения f (x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение f (x) = 0 равносильным ему уравнением:
|
|
|
,
где функции f 1(x) и f 2(x) – более простые, чем функция f (x). Тогда, построив графики функций у = f 1(x) и у = f 2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Отсутствие сходимости функции root
Если после многих итераций MathCAD не находит подходящего приближения, то появится сообщение 
(отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:
· Уравнение не имеет корней.
· Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.
· Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.
· Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.
· Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.
Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f (x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f (x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.
Рекомендации по использованию функции root
· Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида 
. Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.
· Если функция f (x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root (f (x), x) может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f (x) = 0на g (x) = 0
.
· Для выражения f (x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f (x) эквивалентно поиску корней уравнения h (x) = f (x)/(x ‑ a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h (x), чем пробовать искать другой корень уравнения f (x) = 0, выбирая различные начальные приближения.
|
|
|
|
|
|
