 |
Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля
|
|
|
|
Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.
Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.1.9) и на ее свободную поверхность действует давление P0 . Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.
Рис. 1.9. Схема для вывода основного уравнения гидростатики
Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:
PdS - P0 dS - ρ ghdS = 0
Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем
P = P0 + ρ gh = P0 + h γ
Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления P0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.
|
|
|
Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P0. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.
Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В обычных условиях поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.
, (*) где величина 
называется весовым давлением.
Из этой формулы ясно, что всякое изменение внешнего давления 
вызывает изменение давления во всех точках покоящейся жидкости на ту же величину. Этот результат известен как закон Паскаля.
Если жидкость находится в ненапряженном состоянии, т.е. в ней отсутствуют напряжения сжатия, то 
. Значения 
, отсчитанные от нуля, называют иногда абсолютным давлением.
В технике весьма часто представляет интерес избыток давления р над атмосферным 
, который называется избыточным или манометрическим давлением. По определению
.
Для произвольной точки М, заглубленной на высоту h под свободную поверхность, избыточное давление равно
;
отсюда видно, что избыточное давление совпадает с весовым, если давление на свободной поверхности равно атмосферному (
).
Если все члены формулы (*) разделить на величину 
, то они приобретут линейную размерность:
.
Отсюда следует, что каждому давлению р можно поставить в соответствие линейную величину 
, которая представляет собой величину столба жидкости, создающего в своем основании данное давление. Это наглядно иллюстрируется схемой, показанной на рис.1.10. Если на свободной поверхности в резервуаре давление 
, а из запаянной сверху трубки А удален воздух, то под действием давления 
жидкость в трубке поднимется над точкой М на некоторую высоту 
, называемую приведенной высотой. Принимая приближенно, что на свободной поверхности в трубке давление равно нулю, согласно (*) можно записать 
. Следовательно, приведенная высота есть высота столба жидкости, на свободной поверхности которого давление равно нулю, а в основании – данному давлению жидкости.
|
|
|
Для трубки П, открытой в атмосферу и называемой пьезометром, получим
,
Откуда 
;
рис. 1.10. Абсолютное давление в точке М может быть выражено через приведенную высоту  или через пьезометрическую высоту  . Абсолютное давление в точке N, где имеет место вакуум, выражается через вакуумметрическую высоту: 
рис.1.11. Вакуумметрическая высота характеризует недостаток давления до атмосферного 
|
величину
называют пьезометрической высотой.
Если давление в точках какого-либо объема жидкости меньше атмосферного (
), то такое состояние называется вакуумом. Для его характеристики вводится понятие вакуумметрического давления (
), под которым подразумевается недостаток данного давления до атмосферного
.
Соответствующая высота называется вакуумметрической:
.
На рис. 1.10 и 1.11 показаны вакуумметрические высоты для случаев вакуума в капельной жидкости и газе. Давление измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади. В системе СИ единицей давления служит Н/м2 = Па (паскаль), а в технической системе – кгс/см2 = ат (техническая атмосфера). Наряду с этими, давление можно измерять в единицах длины столба данной жидкости.
Общей формулой перевода единиц давления в линейные единицы является
.
При выражении давления высотой столба жидкости чаще всею применяют метры водяного столба, миллиметры ртутного столба и миллиметры спиртового столба.
Гидростатический закон распределения давления, справедлив, очевидно, для любого положения координатной плоскости хОу. Эту плоскость называют плоскостью сравнения, а величину 
– гидростатическим напором. Величину 
, где 
– избыточноедавление, называют пьезометрическим напором. Напоры 
и 
постоянны для всех точек данной массы покоящейся жидкости.
|
|
|
