 |
Дискретная и непрерывная случайные величины
|
|
|
|
Случайной величиной называется такая переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное заранее неизвестное значение 
, из известного множества значений 
. Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.
Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное множество значений 
, которые можно пронумеровать 
Полной статистической характеристикой случайной величины является закон распределения вероятностей. В случае дискретной величины под ним понимается соотношение, устанавливающее зависимость между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями 
при этом 
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в различных формах: табличной, графической, аналитической. Универсальной характеристикой, одинаково пригодной для дискретных и для непрерывных одномерных случайных величин, является функция распределения вероятностей 
(интегральная функция распределения), определяющая вероятность 
того, что случайная величина примет значение меньше некоторого некоторого числа 
:
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. 
2. 
3. 
неубывающая функция, т.е. 
при 
4. 
.
Функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках 
Во многих ситуациях невозможно определить закон распределения случайной величины, часто в этом нет необходимости. В таких ситуациях рассматривают отдельные параметры (числовые характеристики) этого закона. Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины с множеством значений 
и законом распределения вероятностей 
|
|
|
являются:
- математическое ожидание;
- средний квадрат;
- дисперсия.
Возможные значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток или даже всю ось. Функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную функцию.
Часто предполагают, что функции распределения непрерывных случайных величин дифференцируемы во всей области возможных значений случайных величин. При таком предположении непрерывная случайная величина чаще своего описывается плотностью распределения вероятности 
, которая иногда называется дифференциальным законом распределения или дифференциальной функцией распределения. Плотность вероятности определяется как производная функции распределения:
Плотность вероятности обладает следующими основными свойствами:
1. Плотность вероятности неотрицательна, т.е. 
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал 
равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах:
3. Интеграл в бесконечных пределах от функции равен единице (условие нормировки):
Для непрерывной случайной величины формулы для математического ожидания и дисперсии имеют вид:
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры 1 и 0 с вероятностями 
Вероятность перехода единицы в единицу и нуля в нуль соответственно равны 
, 
Определить закон распределения вероятностей случайной величины - однозначного числа, получаемого на приемной стороне.
Решение. 
. Нуль 
на приемной стороне может быть получен в двух случаях: при передаче нуля или при передаче единицы, следовательно, по формуле полной вероятности
Поэтому 
Аналогично 
Распределение вероятностей представлено в табл. 1.
| Табл. 1. | |||||
| |||||
| 
| 
| |||
Пример 2. Производится прием символов 0 и 1 до первого появления символа 1. Вероятность появления 1 при приеме 
. Принимается не более четырех символов. Вычислить математическое ожидание 
, дисперсию 
и среднеквадратическое отклонение 
величины числа принятых символов.
|
|
|
Решение. Распределение вероятностей можно рассчитать следующим образом:
По определению математического ожидания имеем:
,
для дисперсии получаем:
Пример 3. Функция распределения 
случайной величины задана графиком (рис. 1.1).
   
       F(x)
| Требуется:
1) найти аналитическое выражение для функции
распределения;
2) построить график плотности вероятности 
3) определить вероятность того, что величина
примет значение от 3,5 до 4,5.
Решение.1. Когда значения величины заключе
ны в пределах от 3 до 5, функция распределения
представляет собой отрезок прямой, прохо-
|
дящей через две точки с координатами (3,0) и (5,1). Используя уравнение прямой в виде 
получаем 
т.е. 
Следовательно,
при 
2. По определению, 
Поэтому
   
        при
3. | p(x) |
График плотности вероятности 
Задачи
1.3.1. Сообщения 
источника, заданного распределением вероятностей 
, кодируются словами: 
соответственно. Необходимо найти вероятность появления единицы в первой позиции кодового слова при условии, что во второй позиции кодового слова появилась единица; вероятность появления нуля во второй позиции кодового слова при условии, что в первой позиции кодового слова появился нуль; вероятность появления сообщения 
при условии, что в первой позиции кодового слова появился нуль. Исходные данные:
1.3.2. Сигнал 
подается на вход канала с вероятностью 
Поступивший сигнал воспроизводится на выходе с вероятностью 
и теряется с вероятностью 
При отсутствии сигнала на входе возможен ложный сигнал на выходе с вероятностью 
Какова вероятность правильного решения, если мы по сигналу на выходе считаем, что был сигнал на входе? Какова вероятность ошибки в этом случае? Какова вероятность правильного решения, если мы при отсутствии сигнала на выходе, считаем, что на входе его нет? Какова при этом вероятность ошибки?
|
|
|
1.3.3. По двоичной системе связи с помехами передается одна из двух команд в виде двоичных векторов 
или 
Вероятность правильной передачи каждой координаты в системе равна 
, причем координаты искажаются независимо друг от друга. На выходе зарегистрирована кодовая комбинация 
. Определить правило решения о предпочтении команды 
или 
в виде соотношений p и q. Определить, какая команда передавалась для p= 0,5+0,01 N; q= 0,7+0,01 N.
1.3.4. Некоторый объект наблюдается с помощью двух станций слежения.
Известно, что объект может находиться в двух состояниях и , случайно переходя из одного в другое. Априори известно, что (50- А)% времени объект может находиться в состоянии , а (50+ А)% времени - в состоянии . Станция слежения №1 передает ошибочные сведения о состоянии объекта в двух процентах случаев, а станция №2 - в восьми процентах. В некоторый момент времени станция №1 приняла решение 
состоящее в том, что объект находится в состоянии , а станция №2 - решение 
, что объект находится в состоянии 
Определить, какое из решений 
или является более достоверным при 
1.3.5. В двоичной системе связи под воздействием шума каждый из входных символов изменяет независимым образом свое значение с вероятностью 
Четыре статистически независимых сообщения могут передаваться по системе с одинаковой вероятностью в виде кодовых векторов 
На выходе регистрируются сигналы: 
Определить распределение вероятностей входного алфавита 
и входного алфавита 
.
1.3.6. Определить распределение вероятностей входных и выходных сигналов системы. Дана матрица системы передачи информации
1.3.7. Принимается последовательность из 
двоичных символов. Символы поступают независимо. Вероятность появления единицы при приеме 
Определить среднее число единиц в последовательности. Какова дисперсия числа единиц в последовательности?
1.3.8. Полезный сигнал на входе канала связи имеет постоянное значение 
В канале присутствует помеха с нулевым математическим ожиданием 
и дисперсией 
На выходе канала значение принимаемого сигнала 
фиксируется 
раз. В качестве оценки 
входного сигнала принимается среднее арифметическое зафиксированных значений выходного сигнала 
Определить математическое ожидание оценки и среднеквадратичное отклонение оценки от истинного значения 
находилась в пределах 0,1.
|
|
|
1.3.9. Плотность вероятности 
случайной величины имеет вид
где 
и 
- постоянные величины. Найти соотношение, которому должны удовлетворять постоянные и . Вычислить функцию распределения случайной величины . Построить графики плотности вероятности и функции распределения при =2.
1.4. Контрольные вопросы
1.4.1. Что такое случайное событие? Определите события: достоверное, невозможное, противоположное, сумма событий, произведение событий, полная группа событий.
1.4.2. Что такое вероятность?
1.4.3. Что такое условная вероятность? Каковы ее свойства?
1.4.4. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.
1.4.5. Сформулируйте теорему сложения вероятностей.
1.4.6. Напишите формулу полной вероятности.
1.4.7. Напишите формулу Байеса.
1.4.8. Известны события A,B,C, причем A влечет за собой B. Определить: AB, A+B, ABC, A+B+C.
1.4.9. Система состоит из четырех приемников с непересекающимися сферами. Длительность сигнала такова, что он не может быть одновременно обнаружен двумя приемниками. Найти связь событий: A - сигнал обнаружен системой, 
- сигнал обнаружен i -м приемником.
1.4.10. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. Определены события: 
- исправен i -й блок первого типа; 
- исправен j -й блок второго типа. Прибор исправен, если работает хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие «Прибор работает» через события 
и 
.
1.4.11. Что является полным описанием дискретной случайной величины?
1.4.12. Что такое математическое ожидание, дисперсия, средний квадрат дискретной величины?
1.4.13. Показать, что математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.
1.4.14. Показать, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению матожиданий этих величин.
1.4.15. Доказать, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
1.4.16. Вывести расчетное соотношение для дисперсии 
через матожидание 
и средний квадрат 
где 
- возможные значения случайной величины; 
- вероятность этих значений.
1.4.17. Показать, что для среднеарифметического независимых случайных величин 
с одинаковыми средними и дисперсиями выполняются соотношения 
1.4.18. Как определяется плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины?
|
|
|
1.4.19. Какими свойствами обладает плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины?
1.4.20. Что такое математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины?
|
|
|
