Дискретная и непрерывная случайные величины
Случайной величиной называется такая переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное заранее неизвестное значение Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное множество значений Полной статистической характеристикой случайной величины является закон распределения вероятностей. В случае дискретной величины Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в различных формах: табличной, графической, аналитической. Универсальной характеристикой, одинаково пригодной для дискретных и для непрерывных одномерных случайных величин, является функция распределения вероятностей Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. 2. 3. 4. Функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках Во многих ситуациях невозможно определить закон распределения случайной величины, часто в этом нет необходимости. В таких ситуациях рассматривают отдельные параметры (числовые характеристики) этого закона. Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины
являются:
Возможные значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток или даже всю ось. Функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную функцию. Часто предполагают, что функции распределения непрерывных случайных величин дифференцируемы во всей области возможных значений случайных величин. При таком предположении непрерывная случайная величина Плотность вероятности обладает следующими основными свойствами: 1. Плотность вероятности неотрицательна, т.е. 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал 3. Интеграл в бесконечных пределах от функции Для непрерывной случайной величины формулы для математического ожидания и дисперсии имеют вид: Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры 1 и 0 с вероятностями Решение. Поэтому Аналогично Распределение вероятностей представлено в табл. 1.
Пример 2. Производится прием символов 0 и 1 до первого появления символа 1. Вероятность появления 1 при приеме
Решение. Распределение вероятностей можно рассчитать следующим образом: По определению математического ожидания имеем:
для дисперсии получаем: Пример 3. Функция распределения
дящей через две точки с координатами (3,0) и (5,1). Используя уравнение прямой в виде
2. По определению,
Задачи 1.3.1. Сообщения 1.3.2. Сигнал
1.3.3. По двоичной системе связи с помехами передается одна из двух команд в виде двоичных векторов 1.3.4. Некоторый объект наблюдается с помощью двух станций слежения. Известно, что объект может находиться в двух состояниях 1.3.5. В двоичной системе связи под воздействием шума каждый из входных символов изменяет независимым образом свое значение с вероятностью
1.3.6. Определить распределение вероятностей входных и выходных сигналов системы. Дана матрица системы передачи информации 1.3.7. Принимается последовательность из Определить среднее число единиц в последовательности. Какова дисперсия числа единиц в последовательности? 1.3.8. Полезный сигнал на входе канала связи имеет постоянное значение
1.3.9. Плотность вероятности где 1.4. Контрольные вопросы 1.4.1. Что такое случайное событие? Определите события: достоверное, невозможное, противоположное, сумма событий, произведение событий, полная группа событий. 1.4.2. Что такое вероятность? 1.4.3. Что такое условная вероятность? Каковы ее свойства? 1.4.4. Сформулируйте теорему умножения вероятностей. 1.4.5. Сформулируйте теорему сложения вероятностей. 1.4.6. Напишите формулу полной вероятности. 1.4.7. Напишите формулу Байеса. 1.4.8. Известны события A,B,C, причем A влечет за собой B. Определить: AB, A+B, ABC, A+B+C. 1.4.9. Система состоит из четырех приемников с непересекающимися сферами. Длительность сигнала такова, что он не может быть одновременно обнаружен двумя приемниками. Найти связь событий: A - сигнал обнаружен системой, 1.4.10. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. Определены события: 1.4.11. Что является полным описанием дискретной случайной величины? 1.4.12. Что такое математическое ожидание, дисперсия, средний квадрат дискретной величины? 1.4.13. Показать, что математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин. 1.4.14. Показать, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению матожиданий этих величин. 1.4.15. Доказать, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 1.4.16. Вывести расчетное соотношение для дисперсии 1.4.17. Показать, что для среднеарифметического независимых случайных величин 1.4.18. Как определяется плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины?
1.4.19. Какими свойствами обладает плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины? 1.4.20. Что такое математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины?
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|