Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Правила вычисления пределов функции.

Понятие о пределе числовой последовательности.

Последовательностью называется совокупность значений функции натурального аргумента n.

Определение 1.1. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого существует такое число N, что при .

В этом случае пишут: . Определение предела последовательности можно записать с использованием логических кванторов ( - квантор общности, читается «для любого» или «для всех»; - квантор существования, читается «существует» или «найдется»):

, если

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была монотонной и ограниченной. Предел последовательности единственен, если он существует. Если , то последовательность называется бесконечно малой.

J Пример 1.1. Рассмотрим последовательность . С ростом n члены последовательности уменьшаются и становятся сколь угодно мало отличающимися от 0. Докажем, что .

По определению предела , если . Положим . Тогда Это означает, что . J

Если последовательности - бесконечно малые, а - ограниченная последовательность, то последовательности являются бесконечно малыми.

J Пример 1.2. , т.к. - бесконечно малая, а - ограниченная последовательность. J

Если , то последовательность называется бесконечно большой. Если последовательность бесконечно большая, то она не ограничена.

J Пример 1.3. , т.к.члены последовательности с ростом n растут и становятся сколь угодно большими при больших n. J

Правила вычисления пределов последовательностей.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. при условии .

J Пример 1.4. Найти пределы: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Преобразуем данную последовательность, разделив все члены дроби на . Используя правила нахождения пределов, найдём: .

2) Разделим все члены дроби на и используем необходимые правила: .

3) Разделим все члены дроби на , получим: . J

Воспользуемся результатами приведённых примеров. Если в условии задачи имеем неопределенность вида , то:

1) если старшие степени n в числителе и знаменателе равны, то ответ равен отношению

коэффициентов при данных степенях

2) если старшая степень n находится в числителе, то ответ будет ;

3) если старшая степень находится в знаменателе, то ответ будет 0.

Если , то последовательности и называются эквивалентными, обозначение: . В решении примеров последовательности можно заменять эквивалентными. Рассмотрим решение примера 1.4 с использованием эквивалентностей:

1) ; 2) ; 3) .

J Пример 1.5. Найти .

Решение.

Рассмотрим числитель . Знаменатель эквивалентен 3n. Таким образом, . J

J Пример 1.6. Найти

Решение.

Перейдем к эквивалентным последовательностям и найдем предел их отношения: . J

J Пример 1.7. Найти

Решение.

Имеем неопределенность вида . Избавимся от иррациональности и рассмотрим неопределенность .

= =

И от того, что что-то очень сложно, ты не

пытаешься это сделать? Научиться ходить

вначале тоже было тяжело, но ты позани-

мался, и теперь, глядя на тебя, может пока-

заться, что это все не трудно.

Р. Бах. Иллюзии

☼ Упражнения 1.1. Вычислить пределы:

1) ; 5) ; 9) ;

2) ; 6) ; 10) ;

3) ; 7) ; 11) ;

4) ; 8) ; 12) . ☼

Число е.

Последовательность монотонная и ограниченная. Следовательно, она имеет конечный предел. Этот предел определяет эйлерово число . Число е – иррациональное, е .

J Пример 1.7. Найти пределы: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) .

2) .

3) . J

- Надо же как все просто.

- Как научиться ходить. Потом ты начинаешь

удивляться, что в этом было такого сложного.

Р. Бах. Иллюзии

☼ Упражнения 1.2. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) . ☼

Предел функции.

Пусть функция f() определена на некотором промежутке Х и пусть точка или .

Определение 1.2. Число А называется пределом функции () в точке , если такое, что для всех , , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывается так:

J Пример 1.8. Используя определение, докажем, что функция в точке имеет предел, равный единице, т.е.

Возьмем любое . Найдем такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуя неравенство, получаем . Отсюда видно, что если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется требуемое неравенство . Это и означает, что В частности, если , то . J

☼ Упражнения 1.3. Используя определение, доказать, что:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) . ☼

Правила вычисления пределов функции.

Пусть функции и имеют в точке пределы В и A. Тогда

1. = ;

2. ; 3. (при ).

4. ; 5. = С B;

Правила верны также и в случае, когда является одним из символов или .

J Пример 1.9. Найти .

Решение.

По правилам вычисления предела функции находим

= . J

☼ Упражнения 1.4. Найти пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) . ☼

1.6. Раскрытие неопределенностей вида и .

J Пример 1.10. Найти .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель, который обращает в нуль числитель и знаменатель дроби: = . J

J Пример 1.11. Найти .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Так же, как и в случае последовательностей заменим бесконечно большие функции на эквивалентные и найдем предел дроби: . J

J Пример 1.12. Найти .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Заменим бесконечно большие функции на эквивалентные и найдем предел дроби: . J

J Пример 1.13. Найти .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Заменим бесконечно большие функции на эквивалентные и найдем предел дроби: . J

Сопоставляя результаты решений примеров 1.11 - 1.13 установим правило нахождения пределов с неопределенностью . Если - многочлены степеней m и k соответственно, то