 |
Два замечательных предела.
|
|
|
|
Рассмотрим два предела, имеющих важное значение.
Первый замечательный предел: 
.
J Пример 1.18. Найти 
.
Решение.
. J
J Пример 1.19. Найти 
.
Решение.
. J
J Пример 1.20. Найти 
.
Решение.
Положим 
. Тогда 
. Заметим, что 
при 
. Имеем:
. J
Аналогичным образом, принимая во внимание, что 
, можно установить, что
.
J Пример 1.21. Найти 
.
Решение.
. J
Второй замечательный предел: 
.
J Пример 1.22. Найти 
.
Решение.
. J
J Пример 1.23. Найти 
.
Решение.
Положим 
. Тогда 
. Заметим, что при 
.
. J
Полученное соотношение является частным случаем предела
, для получения которого использовались преобразования:
.
Сравнение бесконечно малых.
Функция 
называется бесконечно малой при 
, если 
. Пусть и 
- две бесконечно малые функции при . Тогда:
1) если 
, то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем ;
2) если 
, то и называются бесконечно малыми одного порядка;
3)если 
, то и называются эквивалентными бесконечно малыми. Обозначение: 
;
4)если 
, то называется бесконечно малой n-го порядка относительно ;
J Пример 1.24. Доказать, что при функции 
и 
- эквивалентные бесконечно малые (
при ).
Решение. Действительно, 
. J
Результаты решения примеров 1.19 - 1.23 являются следствиями из 1-го и 2-го замечательных пределов. Запишем эти следствия и некоторые другие, получающиеся подобным образом,
в виде таблицы эквивалентных бесконечно малых. При 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
J Пример 1.25. Найти 
.
Решение.
При 
и 
и, значит, 
, 
. Заменяя числитель и знаменатель на эквивалентные бесконечно малые, получаем 
. J
J Пример 1.26. Найти 
.
Решение.
. J
J Пример 1.27. Найти 
.
Решение.
= 
= 
. J
J Пример 1.28. Найти 
.
Решение.
. J
|
|
|
- Мой дорогой Уотсон, попробуйте немного
проанализировать сами, - сказал он с легким
раздражением.- Вы знаете мой метод. При-
мените его, и будет поучительно сравнить
результаты.
А.Л. Дойл. Знак четырех.
☼ Упражнения 1.7. Найти пределы:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; ☼
II. Дифференцирование.
Понятие производной.
По определению производной функции 
в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии 
. Производная обозначается 
или 
. Тогда 
.
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
J Пример 2.1. Найти производную функции 
Решение.
. J
☼ Упражнения 2.1. Используя определение производной, найти производные функций в точке 
: 1) 
; 2) 
; 3) 
. ☼
Вычисление производных.
Правила дифференцирования.
Если функции 
и 
имеют производные в точке , то в этой точке имеют производные их сумма, разность, произведение и частное, причём:
1) 
;
2) 
;
3) 
при 
;
4) если функция 
дифференцируема в точке ,
а функция 
дифференцируема в точке 
,
то сложная функция 
дифференцируема в точке и
.
Таблица производных.
| № | 
| 
| № |
|
|
| 1. | 
| 10. | 
| 
| |
| 2. | 
| 
| 11. | 
| 
|
| 3. | 
| 
| 12. | 
| 
|
| 4. | 
|
| 13. | 
| 
|
| 5. | 
| 
| 14. | 
| 
|
| 6. | 
| 
| 15. | 
| 
|
| 7. | 
| 
| 16. |
|
|
| 8. |
| 
| 17. | 
| 
|
| 9. | 
| 
| 18. | 
| 
|
J Пример 2.2. Найти производные функций: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
; 8) 
.
Решение.
1) 
= 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
= 
;
5) Чтобы найти производную функции , прологарифмируем уравнение: 
и тогда 
;
6) Для того, чтобы найти производную степенно-показательной функции, прологарифмируем уравнение: 
;
7) Чтобы найти производную функции также прологарифмируем уравнение, получим сумму логарифмов и дифференцирование станет проще: 
, 
, тогда
;
8) Используем логарифмическое дифференцирование для нахождения производной функции : 
,
,
. J
Я занимался до сих пор решением ряда
задач, ибо при изучении наук примеры
полезнее правил.
|
|
|
И. Ньютон. Всеобщая арифметика
☼ Упражнения 2.2. Найти производные функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
; 11) 
;
12) 
; 13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
; 17) 
; 18) 
;
19) 
; 20) 
; 21) 
; 22) 
;
23) 
; 24) 
; 25) 
; 26) 
;
27) 
; 28) 
; 29) 
; 30) 
, найти
; 31) 
; 32) 
; 33) 
;
34) 
; 35) 
; 36) 
; 37) 
;
38) 
; 39) 
; 40) 
; 41) 
;
42) 
; 43) 
; 44) 
; 45) 
46) 
47) 
48) 
49) 
50) 
;
51) 
; 52) 
53) 
; 54) 
; 55) 
;
56) 
57) 
; 58) 
59) 
60) 
; 61) 
62) 
63) 
64) 
65) 
66) 
67) 
68) 
69) 
70) 
71) 
72) 
73) 
74) 
75) 
76) 
77) 
78) 
79) 
80) 
81) 
82) 
83) 
84) 
85) 
86) 
87) 
88) 
89) 
90) 
;
91) 
; 92) 
; 93) 
. ☼
Дифференциал функции.
Если функция дифференцируема в точке 
, т.е. имеет в этой точке конечную производную 
, то ее приращение 
можно записать в виде 
, где 
. Главная, линейная относительно 
часть 
приращения функции
называется дифференциалом функции и обозначается 
. При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу и тогда имеем формулу приближенного значения функции в точке 
.
J Пример 2.3. Найти дифференциал функции 
Решение.
J
J Пример 2.4. Вывести формулу 
и найти приближенно значение 
.
Решение.
Возьмем функцию 
. Тогда при малых 
. Следовательно, 
. Полагая 
, получим . Найдем приближенно : 
. J
☼ Упражнения 2.3. Найти дифференциалы функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
; 13) 
;
14) Вывести приближенную формулу 
и найти приближенно 
; 15) Найти приближенно 
. ☼
|
|
|
