 |
Схема построения графика функции.
|
|
|
|
Чтобы не попасть в капкан,
чтобы в темноте не заблудиться,
чтобы никогда в пути не сбиться,
чтобы в нужном месте приземлиться,
приводниться,-
начерти на карте план.
Если даже есть талант-
чтобы не нарушить, не расстроить
чтобы не разрушить, а построить,
чтобы увеличиться, удвоиться, утроиться
нужен очень точный план.
В. Высоцкий. Песня Алисы о планах.
1. Найти область D значений x, где функция 
определена.
2. Найти точки 
, 
, 
, где 
или производная не существует,
в частности равна 
. Вычислить значения в этих точках: 
, 
, , если они существуют, и определить, не являются ли они точками максимума или минимума. Если не определена в какой-либо из точек 
, то важно знать пределы 
, 
, а также 
, 
, если они имеют смысл.
3. Область D разделяется точками на интервалы 
, на каждом из которых 
. Среди них могут быть бесконечные интервалы вида 
или 
. Будем считать, что производная 
непрерывна на каждом таком интервале . Тогда на сохраняет знак. Выясним, какой это знак. Тогда будет известно, возрастает или убывает функция на .
4. Важно отметить на каждом интервале точки 
, 
, , где 
, и определить соответствующие значения функции 
, 
, . В этих точках могут быть точки перегиба кривой 
. Эти точки делят на интервалы, на которых вторая производная 
, если она существует, сохраняет знак. Выяснение знака даёт возможность узнать направление выпуклости кривой.
5. По возможности решить уравнение 
и выяснить интервалы, на которых сохраняет знак (
, 
).
6. Выяснить вопрос о существовании асимптот, то есть найти пределы 
, 
.
7. На основе сведений построить график функции .
J Пример 3.1. Исследовать функцию 
и построить её график.
1. 
.
2. Функция общего вида.
3. 
, 
, поэтому вертикальных асимптот нет.
|
|
|
4. Так как функция не определена при 
и 
, понятие горизонтальной или наклонной асимптоты для неё не имеет смысла.
5. Экстремумы и интервалы монотонности:
 ,
 при  ,
 .
| 
|
6. Точки перегиба и интервалы выпуклости:
,
, поэтому 
и функция выпукла вверх на отрезке 
. Точек перегиба нет.
График функции представлен на рис. 4. J
| 
|
| Рис. 4. | Рис. 5. |
J Пример 3.2. Исследовать функцию 
и построить её график.
1. 
.
2. Функция общего вида.
3. Вертикальных асимптот нет.
4. 
, поэтому горизонтальных асимптот нет.
Есть ли наклонные асимптоты? 
,
– наклонная асимптота.
5. Экстремумы и интервалы монотонности:
 ,
при  ,  не существует при  ,  при  .
| 
|
– точка локального максимума, 
; – точка локального минимума, 
.
6. Точки перегиба и интервалы выпуклости:
,
 при ,  не существует при .
– точка перегиба.
| 
|
7. 
при 
и 
.
График функции представлен на рис. 5. J
- Задай еще вопрос. Какое же наслаждение
наблюдать за работой собственной головы,
решающей мировые проблемы!
Р. Бах. Иллюзии
☼ Упражнения 3.1. Построить графики функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
11) 
; 12) 
; 13) 
; 14) 
; 15) 
; 16) 
; 17) 
; 18) 
; 19) 
; 20) 
; 21) 
;
22) 
; 23) 
; 24) 
; 25) 
;
26) 
; 27) 
. ☼
Я просил его присутствовать, ибо сегодня он
услышит ответы на свои вопросы.
Дж.Р.Р. Толкин. «Властелин Колец».
Ответы, указания.
Глава 1.
1.1. 1) 
; 7) 
1.2. 1) 
1.4. 1) 
1.5. 1) 
1.6. 1) 
1.7. 1) 
Глава 2.
2.1. 1) 
2.2. 
;
2.3. 
14) 10,05; 1,02; 6,41; 2,08; 2,01; 15) 1,15; 1,072; 
.
2.4. 
2.5. 
2.6. 
5) 
; 
2.7. 
2.8. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
.
Глава 3.
3.1. 1) При 
- максимум, 
; при - минимум, 
; при - точка перегиба;
2) При 
- максимум, 
; при - минимум, 
; при - точка перегиба;
3) Область определения функции 
. При - максимум, 
, при 
выпуклость вверх;
4) При - максимум, 
; при 
- точка перегиба; - горизонтальная асимптота при 
;
5) Область определения 
- горизонтальная асимптота;
|
|
|
6) При - максимум, ; при - минимум, 
;
7) При - максимум, 
; при - минимум, 
; при - точка перегиба, - горизонтальная асимптота;
8) При 
- максимум, 
; при - минимум, ; при 
- точка перегиба;
9) Экстремальных точек нет; 
- вертикальные асимптоты, - горизонтальная асимптота;
10) При - максимум, 
; при - минимум, 
; при , 
- точки перегиба; - горизонтальная асимптота;
11) При - максимум, ; при 
- точка перегиба; - вертикальная асимптота, - горизонтальная асимптота;
12) При - максимум, ; 
- вертикальные асимптоты; - горизонтальная асимптота;
13) При - максимум, 
; при 
- точка перегиба; - горизонтальная асимптота при 
;
14) При - минимум, 
; точек перегиба нет; - вертикальная асимптота при 
;
15) При - максимум, 
; при - минимум, 
; при - точки перегиба; - горизонтальная асимптота;
16) При - максимум, 
; при 
- точки перегиба; - горизонтальная асимптота при ;
17) При - максимум, 
; при 
- минимум, 
; - вертикальные асимптоты; - горизонтальная асимптота при ;
18) Экстремальных точек нет. При - точки перегиба; 
- горизонтальные асимптоты; 
;
19) При - максимум, 
; при - минимум, ; - горизонтальная асимптота; функция неотрицательная.
20) При - минимум, ; функция положительная; - вертикальная асимптота при 
;
21) При - минимум, ; при - максимум, ; 
- наклонная асимптота; - вертикальная асимптота;
22) При - максимум, 
; при - максимум, 
; при - минимум, 
; 
- наклонная асимптота; - вертикальная асимптота; при 
- точка перегиба;
23) При - минимум, 
; точек перегиба нет; 
- наклонная асимптота; - вертикальная асимптота;
24) При 
- минимум, 
; 
- наклонная асимптота при ; - вертикальная асимптота при ;
25) При - минимум, ; при 
- максимум, 
- вертикальная асимптота, 
- наклонная асимптота;
26) При 
- минимум, y = 
; (1;0) - точка пересечения с осью Ох; 
, точек перегиба нет;
27) Экстремальных точек нет. При х = 0 – точка перегиба; 
- наклонная асимптота при 
, 
- наклонная асимптота при 
.
Литература
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: ООО «Издательство АСТ», 2002.
- Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты. СПб.: Издательство «Лань», 2005.
- Вельмисова С.Л., Червон С.В. Математический анализ, часть 1. Ульяновск: УлГУ, 2009.
|
|
|
