Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Случайная величина с экспоненциальным распределением

 

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) называется такой поток заявок, когда промежуток времени  между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная на интервале  с плотностью

 

 

Вычислим математическое ожидание:

После интегрирования по частям, получим:

 

.

 

Параметр  есть интенсивность потока заявок.

Формулу для розыгрыша  получим из уравнения (30), которое в данном случае запишется так: .

Вычислив интеграл, стоящий слева, получим соотношение . Отсюда, выражая , получим:

 

                                                                        (33)

 

Т.к. величина  распределена также как и , следовательно, формулу (33) можно записать в виде:

 


                                                                              (34)

 

 


Исследование системы массового обслуживания

Проверка гипотезы о показательном распределении

Исследуемое мной предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

 

 

Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.

 

Таблица 6.1 – Группировка заявок по времени обработки

Количество заявок 22 25 23 16 14 10 8 4
Время обработки, мин 0–5 5–10 10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40

 


Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, каждый i – й интервал заменяем его серединой  и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

 

 

3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

 

 

4) Вычислить теоретические частоты:

 

,

 

где - объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где S – число интервалов первоначальной выборки.


Таблица 6.2 – Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Количество заявок 22 25 23 16 14 10 8 4
Время обработки, мин 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5

 

Найдем выборочную среднюю:

 

 

2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную . Тогда:

 

 ()

 

3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

 

 

Для первого интервала:

 


Для второго интервала:

 

 

Для третьего интервала:

 

 

Для четвертого интервала:

 

 

Для пятого интервала:

 

Для шестого интервала:

 

 

Для седьмого интервала:

 

 

Для восьмого интервала:

 

 

4) Вычислим теоретические частоты:


 

Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические  и теоретические  частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности , их квадраты, затем отношения . Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения  при уровне значимости  и числу степеней свободы  находим критическую точку

 

Таблица 6.3 – Результаты вычислений

i
1 22 0,285 34,77 -12,77 163,073 4,690
2 25 0,204 24,888 0,112 0,013 0,001
3 23 0,146 17,812 5,188 26,915 1,511
4 16 0,104 12,688 3,312 10,969 0,865
5 14 0,075 9,15 4,85 23,523 2,571
6 10 0,053 6,466 3,534 12,489 1,932
7 8 0,038 4,636 3,364 11,316 2,441
8 4 0,027 3,294 0,706 0,498 0,151
  122        

 

Т.к. , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.


Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...