Задача 3 Нелинейная регрессия

 

Имеются данные по 10 хозяйствам

Урожайность, ц/га, y
Внесено удобрений, кг/га, x	2,1	3,6	3,5	5,0	6,5	4,2	6,3	4,0	6,0	7,5

 

Требуется:

1. Рассчитать параметры степенной и экспоненциальной парных
   регрессий.
2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и
   детерминации.
3. Рассчитать средние коэффициенты эластичности и дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. С помощью F- критерия оценить статистическую надежность результатов моделирования.
5. Рассчитать линейный коэффициент корреляции и детерминации, сделать вывод о целесообразности замены нелинейной зависимости линейной.
6. На основании пунктов 3,4,5 выбрать наилучшее уравнение регрессии.

 

Решение.

1. Регрессия в виде степенной функции имеет вид .

Для оценки параметров линеаризуем модель путем логарифмирования:

,

Для расчетов составим таблицу:

 

Номер	x	y
	2,1		0,7419	2,7081	2,0092	0,5505	4,41	5,6869
	3,6		1,2809	2,8904	3,7024	1,6408	12,96	10,4053
	3,5		1,2528	2,8332	3,5493	1,5694	12,25	9,9162
	5,0		1,6094	3,0910	4,9748	2,5903		15,4552
	6,5		1,8718	3,2189	6,0251	3,5036	42,25	20,9227
	4,2		1,4351	2,9957	4,2991	2,0595	17,64	12,5821
	6,3		1,8405	3,1781	5,8494	3,3876	39,69	20,0217
	4,0		1,3863	2,9444	4,0819	1,9218		11,7778
	6,0		1,7918	3,1355	5,6181	3,2104		18,8130
	7,5		2,0149	3,2958	6,6408	4,0598	56,25	24,7188
	48,7		15,2255	30,2911	46,7501	24,4938	262,45	150,2997
Среднее значение	4,87		1,5225	3,0291	–	–	26,245	–

 

Таким образом, , .

Уравнение регрессии .

Выполнив потенцирование, получим .

Параметр является коэффициентом эластичности и означает, что с ростом удобрений на 1% урожайность с гектара повышается на 0,48%.

 

Регрессия в виде экспоненциальной функции имеет вид .

Для оценки параметров линеаризуем модель путем логарифмирования:

,

Расчетные данные приведены в таблице выше. Имеем:

, .

Уравнение регрессии .

Выполнив потенцирование, получим

2,3. Для расчета показателей корреляции и детерминации необходимо рассчитать теоретические значения по построенным моделям. Для этого подставим значения x в уравнения и , а результаты пропотенцируем.

Расчеты приведем в таблице. Индексы корреляции и детерминации будем рассчитывать по формулам , .

 

Номер	y		Степенная функция	Экспоненциальная функция
			2,6541	14,2126	0,6200	2,7244	15,2473	0,0611
			2,9131	18,4131	0,1706	2,8894	17,9825	0,0003
			2,8995	18,1656	1,3585	2,8784	17,7858	0,6175
			3,0709	21,5607	0,1930	3,0434	20,9764	1,0477
			3,1969	24,4569	0,2949	3,2084	24,7395	0,0679
			2,9871	19,8284	0,0295	2,9554	19,2094	0,6250
			3,1819	24,0925	0,0086	3,1864	24,2011	0,0405
			2,9637	19,3690	0,1362	2,9334	18,7914	0,0435
			3,1585	23,5344	0,2855	3,1534	23,4155	0,1727
			3,2657	26,1974	0,6442	3,3184	27,6161	0,3796
			–	–	3,7410	–	–	3,0558

 

Для степенной функции индекс детерминации составит , а индекс корреляции . Таким образом, связь между рассматриваемыми признаками достаточно тесная. Величина индекса детерминации говорит о том, что 97 % изменчивости урожайности объясняется данным уравнением.

F-критерий Фишера составит:

.

Это значение превышает табличное значение на 5% уровне значимости , следовательно найденное уравнение регрессии статистически значимо.

Для экспоненциальной функции индекс детерминации составит , индекс корреляции . Связь также является достаточно тесной, 98% изменчивости урожайности объясняется данным уравнением.

F-критерий Фишера составит:

.

Это значение превышает табличное значение на 5% уровне значимости , следовательно найденное уравнение регрессии статистически значимо.

4.Индексы корреляции и детерминации рассчитанных моделей различаются незначительно. Возможно, является целесообразным заменить их более простой линейной моделью. Для этого рассчитаем парные линейные коэффициенты корреляции и детерминации по формулам:

,

где .

, , ,

.

В случае экспоненциальной модели разность , следовательно, вместо экспоненциальной модели можно использовать линейную.

В случае степенной модели , что говорит о том, что применение более сложной формы зависимости только ухудшило качество модели.

5. Исходя из вышесказанного, делаем вывод о том, что оптимальной формой зависимости будет линейная, . Таким образом, при увеличении количества удобрений на 1 кг/га урожайность возрастает на 2,297 ц/га.

 

Имеются данные по 10 хозяйствам

 

Варианты индивидуальных заданий

 

Динамика выпуска продукции Финляндии характеризуется данными (млн.долл.), представленными в таблице.

Требуется:

1. Рассчитать параметры степенной и экспоненциальной парных
   регрессий.
2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и
   детерминации.
3. Рассчитать средние коэффициенты эластичности и дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. С помощью F- критерия оценить статистическую надежность результатов моделирования.
5. Рассчитать линейный коэффициент корреляции и детерминации, сделать вывод о целесообразности замены нелинейной зависимости линейной.
6. На основании пунктов 3,4,5 выбрать наилучшее уравнение регрессии.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: