Постановка задачи численного дифференцирования.

П.4 Тригонометрическая интерполяция.

 

1.В тригонометрической интерполяции в отличие от других видов интерполяции, интерполяция происходи не по , а по точкам, т.к. интерполирование происходит периодически и , т.е. период

2. , - равноотстоящие узлы интерполяции.

 

4.1.Формулы Т.И.:

(4.18а)

 

 

где , (4.18б)

 

Замечание:

в этих формулах i– мнимая единица и для работы по (4.18а), (4.18б) нужна формула Эйлера:

При Т.И. интерполирующая функция y(x):

1) периодична с периодом .

2) в узлах интерполяции , т.е. если -вещественное, то в узлах мнимая часть y – нулевая.

3) в промежуточных точках у может принимать комплексные значения, но Im y – будет не велика и её можно отбросить.

4) если число узлов интерполяции нечётное, т.е. n=2n+1, и все - вещественные, то функция у полученная по (4.18а), (4.18б) сама по себе будет вещественна.

Коэффициенты - комплексные, а - вещественные функции и в этом случае вычисления можно осуществлять не с комплексными, а с вещественными числами по формуле (4.19).

(4.19а)

(4.19б) ; ;

 

Быстрое преобразование Фурье.

 

Определение: преобразование набора значений функции (y₀…y_n-1) в набор коэффициентов (A₀…A_n-1) (используя (4.18б)), участвующих в разложении Фурье, называется прямым преобразованием Фурье (ППФ), а обратным преобразованием Фурье (ОПФ) – преобразование массива A_j в y_k (по (4.18б)).

Если осуществлять эти вычисления непосредственно по (4.18а, б), то трудоёмкость - (т.к. имеем n коэффициентов, в каждом из которых n слагаемых).

Эти же вычисления можно делать по более быстрым формулам – быстрое преобразование Фурье. Трудоёмкость по этим формулам существенно меньше: не , а .

 

Многомерная интерполяция.

Пусть мы имеем функцию нескольких переменных, значения которой нам известны в некоторых точках (при задаче интерполирования нам надо знать значение функции f в наперед заданной точке).

Решим простой вариант двумерной интерполяции f(x,y):

- узлы образующие прямоугольную сетку.

1)Интерполируем функцию по х (при фиксированном у) и получим значение функции в точке х.

При фиксированном х, 1 раз интерполируем по у (по

3-м ) и получим значение в точке .

2)х и у можно поменять местами и сделать интерполяцию по у и 1 раз по х.

 

Значения полученные этими способами весьма близки к точным значениям функции, близки друг к другу, но могут и различаться.

 

П.5. Применение интерполяции.

Обратная интерполяция.

С помощью обратной интерполяции можно решать нелинейные уравнения.

Решим f(x)=a:

Идея обратной интерполяции: пусть f в близи корня уравнения f(x)=a – монотонно возрастает или убывает, тогда у неё существует обратная функция.

g(x) – обратная функция, значение которой в точке а нас не интересует.

f(x)=a;

и будет искомым корнем уравнения f(x)=a,

Возьмём интервал , на котором f – монотонна и имеет обратную функцию, следовательно, мы знаем

Применим интерполяцию для вычисления значений обратной функции g и найдем значение интерполирующей функции в точке а. Это и будет, приблизительно, искомый корень.

x=g(a)

При этом при интерполяции х и у меняются местами, так как мы интерполируем не f а g.

Пример:

х
у

f(x)=10

Решение находим интерполируя обратную функцию по 4-м точкам (например, по формуле Лагранжа).

Численное дифференцирование функции.

Постановка задачи численного дифференцирования.

В точках , -известны значения функции . Задача численного дифференцирования – найти значение производной f’ или f” или … в любой наперед заданной точке х. Поступаем также как при интерполяции.

Общие идеи:

Заменяем неизвестную функцию f на интерполирующий многочлен Р.

; , а её производная И.М. Продифференцировав формулы для И.М. Схема Эйткена сразу отпадает, т.к. это схема, а не формула.

Формула Лагранжа громоздка, следовательно, будем дифференцировать формулу Ньютона И.М.

1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: