 |
П.5. Локальные и глобальные погрешности одношаговых методов решения ДУ
|
|
|
|
(метода Эйлера и методов Рунге-Кутта 2го, 4го порядка).
Теорема 6.1:
Если локальная погрешность метода 
, то глобальная 
.
Комментарии:
как и при численном интегрировании, при переходе от локальной погрешности к глобальной, точность метода уменьшается на порядок. (6.8):
| Методы | Локальная | Глобальная |
| Эйлер | const*h2 | const*h |
| Р.–К. 2го порядка по времени | const*h3 | const*h2 |
| Р.–К. 2го порядка по производной | const*h3 | const*h2 |
| Р.–К. 4го порядка | const*h5 | const*h4 |
Как и при численном интегрировании, порядок метода – степень h в глобальной погрешности.
П.6. Многошаговые методы решения ДУ и СДУ.
Все рассмотренные ранее методы – одношаговые, т.к. для нахождения 
мы использовали только лишь значения 
с предыдущего шага. В многошаговых методах для нахождения используется не только лишь одно , но и предыдущие значения.
В k-шаговом методе используются значения с k предыдущих шагов.
Многошаговые методы, как правило, дают лучший результат, чем одношаговые, в силу того, что более устойчивы к вычислительным погрешностям. Многошаговых методов много, самый распространенный среди них – метод Милна.
Формулы метода Милна:
(6.9)
Метод Милна – 4х шаговый (т.к. использует 4 предыдущих значения) и имеет 4-ый порядок точности. Перед применением метода Милна нам надо знать 4y, следовательно, необходимо сделать хотя бы 3 шага каким-нибудь одношаговым методом.
П.7. Оценка погрешности решения ДУ и СДУ методом двойного пересчета. Коррекция решения.
Используя такую же идею, как и в численном интегрировании, находим решение ДУ на [a,b] дважды с шагом h и с шагом h/2. Получим следующую картину:
Сравниваем попарно, если расхождение между 
для метода 2го порядка, 
для метода 4го порядка, то в качестве точного решения берём 
. Если же точность не достигнута, то шаг h уменьшаем вдвое и т.д., пока она не будет достигнута.
|
|
|
Метод двойного пересчёта при решении ДУ и СДУ практически единственный имеет возможность для оценки погрешностей, так как иные формулы очень сложны и требуют оценок различных производных.
Как и при ЧИ, при решении ДУ и СДУ после 2го пересчёта в качестве точного решения выгодно брать не 
, а 
.
- для второго порядка
Метод двойного пересчёта применим не только лишь при ЧИ, при решении ДУ и СДУ, но и при решении других численных методов.
П.7. Краевые задачи для дифференциальных уравнений.
Выше рассматривалось решение ДУ и СДУ с начальными условиями, заданными в одной точке, так называемую задачу Коши, но для ДУ высших порядков часто бывает необходимо решить не з. Коши, а так называемую краевую задачу, т.е. начальные условия, которые заданы в разных точках.
Рассмотрим простейшую краевую задачу для ДУ 2го порядка:
(6.10)
А мы умеем решать:
(6.11),
В (6.11) нам известно 
, поэтому для решения задачи (6.10) мы будем подбирать в (6.11), с тем, чтобы у(b) = у1
Метод стрельб
После пристрелки и определения интервала [a,b],
где идёт смена знака, запускаем МПД или МХ.
На практике это выглядит так, как будто мы
решаем уравнение 
, где 
возвращает
решение задачи Коши (6.11) в точке b при
заданном k.
П.9. Что делать, если ДУ не может быть разрешено относительно старшей производной?
Так как ДУ не может быть решено относительно старшей производной, то тогда на каждом шаге решаем нелинейное уравнение относительно y(n)(все остальные неизвестные y,y’,y”,…, y(n-1)-к этому моменту уже известны).
Решать уравнение относительно старшей производной любым методом(Хорд, МПД, Ньютона).
Замечание:
Таким образом, если ДУ не разрешается относительно старшей производной, то у нас возникает дополнительный цикл (самый внутренний) при написании программы.
|
|
|
Тема 7: Аппроксимация.
|
|
|
