 |
Принцип суперпозиции электрических полей.
|
|
|
|
Напряженность и потенциал поля, создаваемые в некоторой точке пространства системой точечных зарядов, определяются принципом суперпозиции электрических полей:
, 
,
где 
и φ i – напряженность и потенциал, создаваемые i -м зарядом в данной точке поля.
Следует учитывать, что линии напряженности поля положительного заряда исходят от него. Линии же напряженности поля отрицательного заряда сходятся на нем (рисунок 1).
Поэтому в одних случаях (точка В) напряженности полей отдельных зарядов суммируют, а в других случаях (точки А и С) вычитают.
 |
Рисунок 1 – Пояснение принципа суперпозиции напряженностей Е
Потенциалы полей складываются с учетом их знаков, как это показано на рисунке 2.
 |
Рисунок 2 – Пояснение принципа суперпозиции потенциалов φ
При решении задач сначала по формулам вычисляются значения напряженностей (или потенциалов), которые создаются в заданной точке (А, В или С) каждым из зарядов (q1 и q2). Например, для точки А это будут ЕА1 и ЕА2 (или φА1 и φА2). Затем полученные значения соответствующих величин складываются с учетом их знаков.
Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами.
Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью τ, то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dq = τdl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применить следующие формулы:
; 
,
где 
– радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.
Используя принцип суперпозиции электрических полей, интегрированием находят напряженность 
и потенциал φ поля, создаваемого распределенным зарядом:
|
|
|
; 
.
Интегрирование ведется вдоль всей длины L заряженной линии.
Интегрирование приводитк следующей формуледля напряженности поля, создаваемого прямой бесконечной равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром:
,
где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля;
τ – линейная плотность заряда, τ = q / l.
При расчетах электростатического поля системы зарядов используется теорема Остроградского – Гаусса.
Определение теоремы Остроградского – Гаусса для поля в вакууме: поток 
вектора напряженности Е электростатического поля через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов 
, которые охватываются этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную.
Математическая формула теоремы имеет следующий вид:
,
где 
– единичный вектор нормали к элементу поверхности dS.
Если поверхность не охватывает заряд, то поток через такую поверхность равен нулю.
Значение потока вектора Е через замкнутую поверхность не зависит ни от размеров, ни от формы поверхности. Поэтому при расчетах следует выбирать поверхность такой формы, которая позволяет наиболее просто вычислить поток.
Применение теоремы Остроградского – Гаусса к расчету поля приводит к следующим формулам для напряженностей и потенциалов:
напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:
при r < R, E = 0; 
;
при r = R, 
; 
;
при r > R, 
; 
,
где q – заряд сферы.
Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, определяется как
.
Связь потенциала с напряженностью:
в общем случае 
или 
;
в случае однородного поля 
;
в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,
.
|
|
|
