 |
Энергия магнитного поля проводника с током
|
|
|
|
.
Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)
, или 
, или 
,
где B – магнитная индукция;
H – напряженность магнитного поля.
Примеры решения задач
Пример 12. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рисунок 12), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r 1 = 5 см, от другого – r 2 =12 см.
Решение
Для нахождения магнитной индукции B в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций B 1 и B 2 полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:
.
Модуль вектора 
может быть найден по теореме косинусов:
, (27)
где α – угол между векторами 
и 
.
Магнитные индукции и выражаются через силу тока I и расстояния r 1 и r 2 от проводника до точки А соответственно:
B 1 = μ 0 I /(2π r 1); B 2 = μ 0 I /(2π r 2).
Подставляя выражения B 1 и B 2 в формулу (27) и вынеся μ 0 I /(2π) за знак корня, получим
.
Вычислим cos α. Заметив, что α – это угол DAC, по теореме косинусов запишем
,
где d – расстояние между проводами. Откуда
; 
.
Произведем вычисления:
Пример 13. Короткая катушка, содержащая N = 103 витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (B = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α = 600 с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см2.
|
|
|
Решение
Мгновенное значение ЭДС индукции ε определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла
, (28)
а потокосцепление ψ = NФ,
где N – число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение ψ в формулу (28), получим
. (29)
При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону
Ф = B · S ·cos(ω ∙ t),
где B – магнитная индукция;
S – площадь катушки;
ω – угловая скорость катушки.
Подставив выражение для магнитного потока Ф в (29) и продифференцировав полученную формулу по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:
.
Учитывая то, что угловая скорость ω связана с частотой вращения n катушки соотношением ω = 2π· n и угол ω·t = π/2 – α, получим
.
Анализ размерности:
.
Произведем вычисления:
ε = 2∙3,14∙10∙103∙0,04∙10-2∙0,5 = 25,1 В.
Пример 14. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.
Решение
Индуктивность L связана с потокосцеплением ψ и силой тока I соотношением
ψ = L∙I. (30)
Потокосцепление, в свою очередь, может бытьопределено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):
ψ = N∙Ф. (31).
Приравняв (30) и (31), найдем формулу для индуктивности соленоида:
L = N∙Ф/I. (32)
Энергия магнитного поля соленоида определяется формулой
W = 1/2(L∙I 2). (33)
Подставив в формулу (33) вместо индуктивности выражение (32), получим формулу для расчета энергии соленоида:
W= 1/2(N∙Ф∙I).
Произведем вычисления:
|
|
|
;
.
3.4 Колебания и волны
Колебание – это процесс, который повторяется с течением времени.
При гармонических колебаниях значения физических величин изменяются по закону синуса или косинуса.
Кинематика колебаний описывается кинематическим уравнением гармонических колебаний, котороеимеет вид:
S (t) = A ·cos(ωt + φ 0),
где S – мгновенное значение колеблющейся величины, при механических колебаниях S – смещение от положения равновесия;
А – амплитуда колебания (максимальное значение величины S);
(ωt + φ 0) – фаза колебания;
ω – угловая или циклическая частота колебания;
φ 0 – начальная фаза колебания.
Динамика колебаний описывается следующим дифференциальным уравнением гармонических колебаний:
.
Решением этого уравнения является приведенное выше кинематическое уравнение.
Быстрота изменения колеблющейся величины определяется скоростью υ и ускорением а, которые вычисляются по формулам:
где A · ω – амплитудное (максимальное) значение скорости;
A · ω 2 – амплитудное (максимальное) значение ускорения.
Следует иметь в виду, что приведенными уравнениями описываются как механические, так и электромагнитные колебания. Например, при электрических колебаниях первая производная от уравнения колебания заряда дает уравнение колебания силы тока:
|
|
|
