 |
Элементарные преобразования подынтегрального выражения.
|
|
|
|
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Математика (курс практических занятий) 2 семестр
Учебное пособие для специальности
Прикладная информатика в экономике
Группы 446-1, 446-2
Томск
ТУСУР
Электронное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 446-1 и 446-2 весной 2017 года.
Во втором семестре, согласно рабочей программе, на специальности 09.03.03 в первой половине весеннего семестра изучаются следующие темы:
1. Интегральное исчисление.
2. Дифференциальные уравнения.
3. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды, ряды Тейлора и Лорана. Ряды Фурье.
Может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, в качестве материала для планирования занятий.
Содержание 3
Практика № 1 5
Практика № 2 12
Практика № 3 17
Практика № 4 23
Практика № 5 34
Практика № 6 42
Практика № 7 50
Практика № 8 53
Практика № 9 59
Практика № 10
Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию
| Практика № | 446-1 | 446-2 |
| 14.02.17 | 14.02.17 | |
| 21.02.17 | 17.02.17 | |
| 21.02.17 | 21.02.17 | |
| 28.02.17 | 28.02.17 | |
| 07.03.17 | 03.03.17 | |
| 10.03.17 | 07.03.17 | |
| 14.03.17 | 14.03.17 | |
| 21.03.17 | 17.03.17 | |
| 24.03.17 | 21.03.17 | |
| 28.03.17 | 28.03.17 | |
| 04.04.17 | 31.03.17 | |
| 07.04.17 | 04.04.17 | |
| 11.04.17 | 11.04.17 | |
ПРАКТИКА № 1 (14.02.2017 у обеих групп).
Элементарные преобразования подынтегрального выражения.
|
|
|
Задача 1. Вычислить 
.
Решение. Известно, что 
. Для того, чтобы гарантированно правильно учесть коэффициент, лучше сразу домножить и поделить на 4, чтобы сформировать под знаком интеграла готовое выражение вида 
. Итак, = 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 2. Вычислить 
.
Решение. Известно, что 
. При дифференцровании функций вида 
происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 3. Вычислить 
.
Решение. Замечая, что 
, преобразуем так:
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 4. Вычислить 
.
Решение. Известна формула 
. Если в знаменателе линейная функция вида 
, то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак, = 
. Теперь интеграл имеет вид 
и конечно, равен 
. Фактически применили замену 
. Сделав обратную замену, получаем ответ: 
.
Ответ. .
Задача 5. Вычислить 
.
Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.
= 
= 
= 
=
= 
и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: 
.
Ответ. .
Задача 6. Вычислить 
.
Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.
Получили частное 
, остаток 
. Теперь можно представить в виде суммы интегралов:
= 
= 
.
Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда = 
= 
что тоже приводит к .
Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:
|
|
|
Ответ. 
.
Задача 7. Вычислить 
.
Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду 
.
Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:
= 
= 
.
С помощью замены 
сводится к интегралу:
= 
, и далее с помощью обратной замены получаем ответ.
Ответ. 
.
Задача 8. Вычислить 
.
Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.
Выделяя полный квадрат, получим = 
.
В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 9. Вычислить 
.
Решение. В данном примере D>0, в отличие от предыдущих. Нужно сначала разбить дробь на сумму простейших:
и после этого, будет сумма двух таких интегралов, каждый из которых сводится к логарифму. Чтобы найти А и В, приведём к общему знаменателю:
= 
.
Теперь приравняем числители, ведь дроби равны, знаменатели одинаковы, значит и числители тоже:
.
Отсюда получается система уравнений, из которой можно найти неопределённые коэффициенты А и В:
Решая эту систему, получаем 
, 
. Тогда интеграл распадается на простейшие:
= 
= 
.
Ответ. 
.
Метод неопределённых коэффициентов подробнее будет изучаться в параграфе «интегрирование рациональных дробей», но его основная идея понятна уже из этой задачи.
|
|
|
