Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тригонометрические преобразования.

Кроме различных арифметических преобразований типа разложения многочленов или дробей, существуют задачи, в которых нужно выполнить тригонометрические преобразования подынтегральной функции.

Задача 10. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени, чтобы перейти от степеней тригонометрических функций к выражениям типа или .

= = = .

Ответ. .

Задача 11. Вычислить .

Решение. Здесь можно было бы применить формулу для косинуса двойного угла, но это преобразование бы только увеличило степени. Поэтому в данном случае для удобнее применить формулу понижения степени ко второму множителю и не менять первый.

= = =

= = .

Первый интеграл вычисляется уже известным способом, а во втором снова понизим степень.

= = .

Ответ. .

Подведение под знак дифференциала.

Задача 12. Вычислить .

Решение. Замечаем, что присутствует множитель , который является производной от . А остальная часть функции как раз зависит только от . Поэтому можно подвести под знак дифференциала: =

Применяем замену : = .

Далее, = , и после обратной замены .

Ответ. .

Задача 13. Вычислить интеграл .

Решение. = = = = =

= = . Учитывая тот факт, что , знак модуля не нужен.

Ответ. .

Задача 14. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Для сведения, покажем, как выглядит график функции .

Зелёным цветом изображён график , синим .

Вертикальные асимптоты .

Задача 15. Вычислить интеграл .

Решение. = = = =

. Ответ. .

Домашнее задание.

1. Вычислить интеграл . Ответ. .

2. Вычислить интеграл . Ответ. .

3. Вычислить интеграл . Ответ. .

4. Вычислить интеграл . Ответ. .

ПРАКТИКА № 2

Задача 1. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Задача 2. Вычислить .

Решение. = = =

= = = .

Ответ. .

Задача 3. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Задача 4. Вычислить .

Решение. Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в числителе, то будет , но тогда в знаменателе получится выражение . чтобы не происходило такого усложнения и не появились вложенные квадратные корни, надо подводить не весь числитель, а отделить тот множитель, который нам удобнее, чтобы потом всё выражалось через .

= = =

и теперь, после замены , получится .

Далее, сделаем преобразование, котрое позволит оставить только однотипные корни:

= = =

далее уже с помощью обычных действий со степенными функциями:

= .

После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно обратно меняем дробные степени на корни.

Ответ. .

Задача 5. Вычислить .

Решение. = =

= = = =

= = .

Ответ. .

Задача 6. Вычислить .

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения, которое есть в знаменателе. Тогда = = = = .

Здесь фактически мы применили замену для упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду .

Ответ. .

Задача 7. Вычислить .

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при :

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено :

= =

= .

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

Ответ. .

Задача 8. Вычислить .

Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на , но, тем не менее, в числителе есть переменная , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1-я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.