Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.





Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента аij ,определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

, тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будетопределитель:

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

, знак перед произведением равен (-1)n, где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij.
Аij = (-1)i+j × Мij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Пример:

Теорема ЛАПЛАСА

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(*)

(разложение по элементам i-й строки);

(**)

(разложение по элементам j-го столбца).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки

Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.

Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель квазитреугольной матрицы.

Разложение определителя



По элементам i-й строки:

По элементам j-го столбца:

Например, при n = 4 разложение по первой строке

Квазитреугольная матрица

Квазитреугольной называется клеточная матрица A у которой клетки Aij = 0 при i > j (или i < j):

.

Определитель квазитреугольной матрицы равен произведению определителей диагональных клеток.

Обратная матрица

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:
X × A = A × X = E
, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А-1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Для получения обратной матрицы используют формулу:

, где Мji дополнительный минор элемента аji матрицы А.

Cвойства обратных матриц:

1) (А-1)-1 = А;
2) (АВ)-1 = В-1А-1;
3) (АТ)-1 = (А-1)Т;

Множество

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множестваA; или a принадлежит A, или A содержит a). Если a не является элементом множества A, то пишут (a не входит в A, A не содержит a). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a, b, c} обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные.

 

 

Эквивалентность.

 

Отношение эквивалентности (∼) на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: для любого a в X,

2. Симметричность: если , то ,

3. Транзитивность: если и , то .

Запись вида « » читается как «a эквивалентно b».

 

Геометрические векторы

 

Вектором в пространстве называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов которого выделен и называется началом, а другой — концом. При этом сонаправленные и равные по длине отрезки считаются одним и тем же вектором

 

Направленным отрезком называется упорядоченная пара (A,B) точек пространства, у которой A называется началом, B — концом. Направленные отрезки (A,B) и (C,D) назовём эквивалентными, если или если и . Знак обозначает сонаправленность: если лучи и либо лежат на одной прямой и дают в пересечении луч, либо лежат на параллельных прямых в одной полуплоскости относительно прямой . Классы эквивалентности по указанному отношению называются векторами.

 

 

Свободный вектор.

Два вектора называются равными, если они:

 

а) коллинеарны, одинаково направлены;

б) имеют равные длины.

 

Все нулевые векторы считаются равными друг другу.

 

Это определение равенства векторов характеризует так называемые свободные векторы. Данный свободный вектор можно переносить, не меняя его направления и длины, в любую точку пространства (откладывать от любой точки), при этом будем получать векторы, равные данному. Таким образом, свободный вектор определяет целый класс равных ему векторов, отличающихся только точкой приложения.





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.