Теплопровідність циліндричної стінки.

Практика показує що коли змінюється геометрична форма поверхні стінки, в якій здійснюється теплопровідність, то змінюється і розрахункове рівняння. В інженерній практиці після плоскої стінки другим дуже розповсюдженим прикладом теплопровідності є теплопровідність в циліндричній стінці. Приклад: труба і через її стінку тепловий потік передається до повітря приміщення. Форма труби – циліндр в середині якого порожнина. Циліндричні стінки так само як і плоскі можуть бути одношарові та багатошарові. Для початку розглянемо одношарову циліндричну стінку. Елемент циліндричної стінки: внутрішній радіус зовнішній радіус. Довжина твірної цієї поверхні. Так само припускається що коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки не залежить від температури і матеріал однорідний. Внутрішня поверхні є поверхня ізотермічна з температурою, а зовнішня ізотермічна з температурою. Якщо то тепловий потік буде передаватися радіально від центра труби до периферії. Для розрахункової формули не грає ролі яка температура більша - при іншій залежності зміниться тільки напрямок теплового потоку. Тут важливо інше: по мірі розповсюдження теплового потоку від буде проходити через різні по площі перерізи стінки. Внутрішня поверхня буде найменшою, дальше більша і найбільшою буде зовнішня поверхня. При розрахунках використовують як радіуси так і діаметри – це неважливо. Ми припустили що маємо дві ізотермічні поверхні, а отже будь-яка поверхня яка розташована між ними теж буде ізотермічною. На віддалі від початку координат виділяємо надзвичайно малий циліндричний шар товщиною. А оскільки товщина шару нескінченно мала то коли тепловий потік проходить через цей шар то ми можемо нехтувати кривизною цієї поверхні. Якщо тепловий потік проходить через всю стінку то температура змінюється на. А для цього шару зміна температури складе. Таким чином нехтуючи кривизною можемо записати закон Фур’є для виділеного тонкого шару де площа поверхні буде.. Поділимо ліву і праву частини рівняння на довжину твірної і отримаємо рівняння - питомий лінійний тепловий потік. Так само маємо диференціальне рівняння в якому є дві змінні і розділимо їх. після інтегрування.

При тоді тоді константа інтегрування, а коли тоді. Тоді підсумкове рівняння буде. Тепер рівняння температурного поля буде або зміна температури по товщині циліндричної стінки. Відношення радіусів можна замінити відношенням діаметрів результат від цього абсолютно не зміниться. Цю величину що стоїть в знаменнику позначають - лінійний термічний опір теплопровідності. Загальний тепловий потік буде. Отже ми переконались що коли змінюється геометрична форма поверхні змінюється розрахункове рівняння – рівняння ускладнилося в порівнянні з плоскою стінкою.

Багатошарова стінка

Так само як для плоскої стінки може бути як один так і декілька шарів так і циліндричну стінку можна розглядати як одношарову так багатошарову. Приклад: труба опалення – на трубу нанесено шар фарби який хоч і тонкий але впливає на тепловий потік. Зобразимо випадок трьохшарової циліндричної стінки. Чим більше змінюється температура в межах одного шару тим менший у нього коефіцієнт теплопровідності. Тепловий потік визначається за формулою яка виводиться за тими ж принципами що і для одношарової і остаточне рівняння має вигляд.

Отже в залежності від геометричної форми маємо різні формули для визначення теплового потоку - плоска стінка дала простішу формулу, циліндрична складнішу. А якщо взяти сферичну стінку то формула ще ускладниться. На цьому ми завершили перший розділ – теплопровідність.