Системы линейных уравнений
5.1. Критерий совместности Система линейных уравнений имеет вид:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, (5.1) ............ am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm.
Здесь аi j и bi (i = ; j = ) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде: AX = B, (5.2) где A = (аi j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T, Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC º B. Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений. Матрица `A = , образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой. Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е. Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности: 1) M = Æ (в этом случае система несовместна); 2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной); 3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, (5.3) .................. an1 x1 + an1 x2 +... + ann xn = bn.
Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:
5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0.
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы: `A = . Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7 ¹ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю: M¢3 = = 0, M²3 = = 0. Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы `A рассмотрим окаймляющий минор = = -35 ¹ 0, значит, ранг расширенной матрицы r(`A) = 3. Поскольку r(A) ¹ r(`A), то система несовместна. 5.2. Метод Гаусса Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Пример 2. 13. Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2: ~ ; б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую: . В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим 5.3. Формулы Крамера Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А D = det (ai j) и n вспомогательных определителей D i (i= ), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов. Формулы Крамера имеют вид: D × x i = D i (i = ). (5.4) Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: x i = D i / D. Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна. Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 5, x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2, 2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2, 3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
Решение. Главный определитель этой системы D = = -142 ¹ 0, значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i (i= ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов: D 1 = = - 142, D 2 = = - 284, D 3 = = - 426, D 4 = = 142. Отсюда x1 = D 1/D = 1, x2 = D 2/D = 2, x3 = D 3/D = 3, x4 = D 4/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T. 5.4. Матричный метод
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений
x1 - x2 + x3 = 6, 2x1 + x2 + x3 = 3, x1 + x2 +2x3 = 5.
Решение. Обозначим A = , X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T. Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку D = det =5 ¹ 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную: А-1 = 1/D . Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A-1B. В данном случае A-1 = и, следовательно, = . Выполняя действия над матрицами, получим:
x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1, x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2, x3 = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.
Итак, С = (1, -2, 3)T. 5.5. Системы линейных уравнений общего вида Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и `A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n; а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера; б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных. Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn, a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn, .............................. ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.
Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений. Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:
a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5) .................. am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0. Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r. Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A ), если найдется такое число l, что будет выполняться равенство AX = lX. Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A ), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n. В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы. Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = lX в виде (A - lE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:
(a11 -l)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0, a21x1 + (a22 -l)x2 +... + a2nxn = 0, ........................ (5.6) an1x1 + an2x2 +... + (ann-l)xn = 0.
Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е. = . Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - lE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом. Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1, 3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4, x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.
Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду: ~ ~ . Очевидно, что r(A) = r(`A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1, - 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.
Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:
x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1, - 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,
откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы. Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.
2x1 - x2 + x3 + x4 = 1, x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2, x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.
Решение. Данной системе соответствует матрица`А= . Имеем `А ~ ~ , следовательно, исходная система равносильна такой:
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2, 5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2, 0 = a-5.
Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид: x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4. Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:
a 1 = (1, 1, 4, 2), a 2 = (1, -1, -2, 4), a 3 = (0, 2, 6, -2), a 4 = (-3, -1, 3, 4), a 5 = (-1, 0, - 4, -7).
Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля x1 a 1 + x2 a 2 + x3 a 3 + x4 a 4 + x5 a 5 = 0. В координатной записи оно равносильно системе уравнений:
x1 + x2 - 3x4 - x5 = 0, x1 - x2 + 2x3 - x4 = 0, 4x1 - 2x2 + 6x3 +3x4 - 4x5 = 0, 2x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.
Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных: ~ ~ ~ ~ ~ ~ . Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:
x1 + x2 - 3x4 = x5, -2x2 + 2x4 = -2x3 - x5, - 3x4 = - x5.
Имеем: x4 = 1/3 x5, x2 = 5/6x5+x3, x1 = 7/6 x5 -x3. Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение x1 a 1 + x2 a 2 + x3 a 3 + x4 a 4 + x5 a 5 = 0 имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x5 = 6, x3 = 1. Тогда x4=2, x2 = 6, x1=6 и мы получим соотношение 6 a 1 + 6 a 2 + a 3 + 2 a 4 + 6 a 5 = 0, т.е. данная система векторов линейно независима. Пример 2.19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A = . Решение. Вычислим определитель матрицы A - lE: = det = det . Итак, = (l - 2)2 × (l+2)2. Корни характеристического уравнения =0 - это числа l1 = 2 и l2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейных однородных уравнений
x1 - x2 = 0, x1 - x2 = 0, x1 - x2 = 0, Þ 3x2 -7x3 - 3x4 = 0, 3x1 - 7x3 - 3x4 = 0, 5x3 + x4 = 0. 4x1 - x2 + 3x3 - x4 = 0,
Следовательно, собственному значению l = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем: A - lE = A +2E = ~ , и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений
x1+3x2 = 0, x2 = 0, x3+x4= 0.
Поэтому собственному значению l = -2 отвечают собственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b - любое отличное от нуля действительное число.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|