Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.

5. Однією з умов розширення множини цілих чисел була вимога про необхідність збереження сутності та правил виконання операцій над цілими числами в новій числовій множині. Саме тому, будемо визначати операції над невід’ємними раціональними числами так, щоб це не суперечило правилам виконання цих операцій у попередній числовій множині. Для цього, як ми вже зазначали, кожне ціле число будемо розглядати як дріб із знаменником 1. Оскільки 1+2=3, тобто , то + = = . Саме тому доцільно прийняти таке означення.

Означення: сумою двох дробових чисел з однаковими знаменниками є дробове число, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник – дорівнює їх спільному знаменнику.

Наприклад, . Прийняте означення можна поширити на будь-яку скінченну кількість доданків, наприклад: . Як же бути в тому випадку, коли дроби мають різні знаменники? – звести їх до спільного знаменника і додати за попереднім означенням. Можна прийняти і наступне означення.

Означення: сумою двох невід’ємних раціональних чисел називається третє невід’ємне раціональне число , тобто = .

У жодному з означень нічого не говориться про існування та єдиність суми невід’ємних раціональних чисел. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема: сума невід’ємних раціональних чисел існує і єдина.

Доведення.

Розглянемо два дроби такі, що m і р єZ₀, а n і qєN. Знайдемо їх суму. = - згідно означення. Тоді mqÎZ₀, pnÎZ₀ і nqÎZ₀, а тому одержаний нами дріб - існує і єдиний. Теорему доведено.

Для того, щоб одержати відповідь на запитання: «чи підкоряється операція додавання невід’ємних раціональних чисел комутативному та асоціативному законам?», необхідно довести відповідні теореми.

Теорема: операція додавання в множині невід’ємних раціональних чисел підкоряється комутативному та асоціативному законам.

Символічно вони запишуться так: (" єQ₀)(); (" , єQ₀)(( )+ = ()).

Доведення.

Розглянемо три дробових числа, але для спрощення викладок виберемо їх із спільними знаменниками, і доведемо, що (). ( =(Чому?!)= (Чому?!)= (Чому?!)= . Отже, () сполучний закон додавання невід’ємних раціональних чисел доведено.

Означення: сума натурального числа і дробового числа, записаних поряд без знака додавання називають мішаним числом.

Наприклад, 8+ =8 . Щоб представити мішане число дробовим, його необхідно перетворити у неправильний дріб, а саме: 8 = = . Щоб перетворити неправильний дріб у мішане число, потрібно поділити чисельник на знаменник і частку записати перед дробом, а остачу записати у чисельнику, залишивши той самий знаменник, наприклад: . Отже, множина невід’ємних раціональних чисел замкнена відносно операції додавання.

Операцію віднімання у множині невід’ємних раціональних чисел також означатимемо так, щоб це не суперечило правилам віднімання цілих чисел.

Означення: відняти від дробового числа дробове число - це означає знайти таке дробове число - , яке у сумі з дробовим числом дає нам дробове число .

Таке означення не суперечить тому, яке ми прийняли для невід’ємних цілих чисел. Для того, щоб знайти різницю двох дробових чисел, приймемо наступне означення.

Означення: різницею двох дробових чисел з рівними знаменниками називається таке третє дробове число, чисельник якого дорівнює різниці чисельників, а знаменник – спільному знаменнику.

Символічно прийняте означення запишеться так: - = . Щоб знайти різницю дробових чисел з різними знаменниками, слід звести їх до спільного знаменника та використати попереднє означення. Символічно це запишеться так: - = . У прийнятих означеннях нічого не говориться про існування та єдиність різниці. Саме тому слід довести наступні теореми.

Теорема: різниця двох невід’ємних раціональних чисел і існує тоді і тільки тоді, коли ³ .

Доведення.

Для спрощення викладок розглядатимемо дроби з однаковими знаменниками. Оскільки у формулюванні теореми є словосполучення «тоді і тільки тоді», то доведення складатиметься з двох частин: 1) якщо різниця - існує, то ³ ; 2) якщо ³ , то різниця - існує.

Доведемо першу частину. Оскільки різниця - існує, то маємо - = , де m³p, а тому ³ (Чому?!). Першу частину доведено. Для доведення другої частини використаємо те, що ³ . Оскільки ³ , то різниця - - додатна, а тоді - = - також додатна. Це означає, що m-p³0. Отже, число m-p належить множині Z ₀. Таким чином, різниця - існує. Теорему доведено повністю.

Теорема: якщо різниця невід’ємних раціональних чисел існує, то вона єдина.

Доведення цієї теореми пропонуємо провести методом від супротивного самостійно.

 

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒

Поделиться:

Читайте также:

Агрохімічні та фізико-хімічні властивості лучно-чорноземного карбонатного ґрунту
Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.
Активність – взаємодія двох перших факторів, діяльний стан організму як умова його існування та поведінки.
Алергени, їх природа та властивості
Аналіз рівнянь лінійної регресії і властивості вибіркового коефіцієнту кореляції
В зв'язку з припиненням існування СРСР
Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
Вирок суду, його структура та правові властивості: законність, обґрунтованість та справедливість.
Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.

Воспользуйтесь поиском по сайту: