Порядок выполнения типового примера. 3 глава
Частные производные по параметрам в матричной форме вычисляются следующим образом:
Таким образом, получим в матричной форме оценки параметров линейной регрессии:
Для вычисления их не нужно составлять и решать нормальную систему линейных уравнений МНК. Достаточно выполнить указанные в формуле (2.16) алгебраические операции в матричной форме над результатами исходных, выборочных наблюдений X и Y. В частности, при выполнении контрольной работы такие расчеты достаточно легко выполняются с помощью Мастера функций табличного процессора Microsoft Exel.
3.4. Интерпретация оценок параметров и уравнения множественной линейной регрессии
Интерпретация – содержательное объяснение – результатов анализа экономического явления или объекта, представленного статистическими (выборочными данными), является одной их самых важных задач регрессионного анализа. Так, рассматривая полученные оценки параметров уравнения регрессии, можно сказать, изменение фактора При этом единицы, в которых измерены выборочные значения переменных Все другие более общие показатели характера влияния факторов на объясняемую переменную, не зависящие от масштаба их измерения, такие как стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности, получают на основе этих оценок параметров
Параметр При интерпретации модельного уравнения регрессии важно отмечать его следующие характерные особенности. Во-первых, Во-вторых, эмпирическое уравнение регрессии отражает общую закономерную тенденцию, представленную выборочными данными, тогда как каждое отдельное наблюдение подвержено случайным воздействиям со стороны неконтролируемых факторов. Следовательно расчетные значения объясняемой переменной не могут быть детерминированными и их нужно дополнять характеристиками вариации, например, стандартными ошибками или доверительными интервалами. И, наконец, в-третьих, правильность интерпретации зависит от правильного выбора и полноты модельного представления статистической связи. Это связано с включением в уравнение всех статистически значимых объясняющих переменных, а также выбором формы уравнения эмпирической функции регрессии. Если форма уравнения является линейной, то можно использовать такие характеристики линейной статистической связи, такие как коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Но в случае, когда реальная функция регрессии нелинейная, они не могут отражать силы влияния факторов.
4. Анализ качества уравнения регрессии
Выявление лучшего варианта эконометрической модели обычно осуществляется сравнением соответствующих им качественных характеристик, которые можно рассчитать на основе исходной статистической информации, содержащейся в векторе Y, матрице X, и новой расчетной информации, появляющейся после построении каждого из вариантов модели. Основным условием высокого «качества» модели является обоснованность математической формы уравнения эмпирической регрессии. Важную роль при этом играет как состав включенных в него независимых переменных, так и характер их взаимосвязей с зависимой переменной у, которые в совокупности определяют причины ее изменчивости. Сопоставление новой расчетной информации, полученной после оценки параметров модельной регрессии с исходной статистической информацией позволяет установить, насколько удалось реализовать это условие на практике. 4.1. Характеристики и критерии качества эконометрических моделей
Ведущая роль при определении характеристик качества эконометрической модели принадлежит ряду ее «выборочной» ошибки еi, i =1, 2,..., n, которая формируется с использованием найденных оценок ее параметров как
где Для каждого набора оценок параметров В общем случае «качество» эконометрической модели оценивается с помощью различных характеристик. Самой простой из них является средняя ошибка аппроксимации, которая вычисляется как среднее отклонение расчетных значений от результатов фактических измерений. Совокупность отклонений как относительные ошибки аппроксимации. Чтобы получить общее представление о качестве модели, из относительных отклонений по каждому наблюдению вычисляют среднюю ошибку аппроксимации
Считается, что допустимый предел ошибки не должен превышать 8 – 10%. Другой характеристикой качества модельного уравнения регрессии является несмещенная оценка дисперсии случайных отклонений
где р – число объясняющих переменных, факторов. Корень квадратный из оценки дисперсии обозначается как Se и называется стандартной ошибкой регрессии. Ошибка модельной регрессии во многом предопределена тем, что оценки Надежность случайных оценок устанавливают также с помощью определения оценок их дисперсий (стандартных ошибок). Кроме того, строят доверительные интервалы для теоретических значений и проверяют статистические гипотезы о значимости отличия их эмпирических величин от ожидаемых, теоретических значений.
4.2. Дисперсии и стандартные ошибки параметров линейной регрессии Оценки коэффициентов множественной линейной регрессии в матричной форме (2.2) определяются следующим образом:
Чтобы оценить ошибку оценки матрицы коэффициентов регрессии Таким образом, ошибка полученной оценки Дисперсия многомерной случайной величины В силу того, что объясняющие переменные XJ не являются случайными величинами, их можно вынести за знак математического ожидания:
Матрица
В силу предпосылки МНК 2° все диагональные элементы одинаковы
Неизвестное значение дисперсии случайного отклонения теоретической регрессии
где через Стандартные ошибки коэффициентов регрессии вычисляются по формулам:
где j = 0, 1,..., p.
4.3. Доверительные интервалы коэффициентов регрессии
Для построения интервальной оценки неизвестных коэффициентов регрессии При заданном уровне значимости a доверительный интервал записывается следующим образом: где Из данного неравенства следует:
где
4.4. Стандартная ошибка и доверительные интервалы уравнения регрессии
Дисперсия многомерной случайной величины где матрица Таким образом, получаем окончательное выражение в матричной форме:
Выборочные оценки дисперсий i -го значения эмпирической регрессии
Стандартные ошибки оценок значений регрессии вычисляются по формулам:
где i = 1, 2,..., n. Доверительные интервалы для неизвестной функции регрессии Из данного неравенства следует:
где
4.5. Статистическая значимость уравнения регрессии
Проверить статистическую значимость уравнения множественной регрессии означает установить, соответствует ли регрессионная модель, принятая для объяснения взаимосвязи между переменными, исходным статистическим данным. Или, другими словами, достаточно ли включенных в уравнение регрессии факторов для описания поведения объясняемой переменной на основе имеющихся выборочных данных. Проверка значимости уравнения регрессии производится с помощью метода статистического анализа – дисперсионного анализа. Оценивание качества уравнения регрессии с помощью F -критерия Фишера состоит в проверке гипотезы H0 о статистической значимости уравнения регрессии или показателя тесноты связи. В случае, когда нулевая гипотеза отвергается, влияние включенных в регрессию факторов на объясняемую переменную преобладает над ее изменениями в силу других причин.
Для этого сравнивают фактическое значение критерия
где
где a - уровень значимости; Если 5. Уравнение регрессии в стандартизованной форме
5.1. Стандартизованные переменные
В эконометрике часто используется иной подход к определению параметров множественной регрессии (2.13) с исключенным коэффициентом Разделим обе части уравнения на стандартное отклонение объясняемой переменной SY и представим его в виде: Разделим и умножим каждое слагаемое на стандартное отклонение соответствующей факторной переменной, чтобы перейти к стандартизованным (центрированным и нормированным) переменным:
где новые переменные обозначены как
Все стандартизованные переменные имеют нулевую среднюю величину и одинаковую дисперсию, равную единице. Уравнение регрессии в стандартизованной форме имеет вид:
где Стандартизованные коэффициенты регрессии
которая дает другой способ вычисления коэффициентов
5.2. Нормальная система уравнений МНК в стандартизованных переменных
Оказывается, что для вычисления коэффициентов стандартизованной регрессии нужно знать только парные коэффициенты линейной корреляции. Чтобы показать каким образом это делается, исключим из нормальной системы уравнений МНК неизвестную
Заменяя обозначениями дисперсии и ковариаций выражения в скобках перепишем второе уравнение в удобном для дальнейшего упрощения виде: Разделим обе части этого уравнения на стандартное отклонение переменных SY и `SX1, а каждое слагаемое разделим и умножим на стандартное отклонение переменной, соответствующей номеру слагаемого:
Вводя характеристики линейной статистической связи:
и стандартизованные коэффициенты регрессии
получаем:
После аналогичных преобразований всех остальных уравнений,нормальная система линейных уравнений МНК (2.12) принимает следующий, более простой вид:
5.3. Параметры стандартизованной регрессии
Стандартизованные коэффициенты регрессии в частном случае модели с двумя факторами определяются из следующей системы уравнений:
Решая эту систему уравнений, находим:
Подставив найденные значения коэффициентов парной корреляции в уравнения (3.4) и (3.5), получим
6. Возможности экономического анализа на основе многофакторной модели
6.1. Коэффициенты
Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько стандартных отклонений В силу того, что в стандартизованной регрессии все переменные заданы как центрированные и нормированные случайные величины, коэффициенты Эта особенность стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет использовать при отсеве наименее значимых факторов Хi с близкими к нулю значениями их выборочных оценок
6.2. Средние и частные коэффициенты эластичности
В экономических исследованиях для количественного представления результатов множественного анализа также часто применяют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности характеризует изменение в процентах объясняемой переменной при изменении факторной переменной на 1% и определяется для зависимости
Он имеет четкую экономическую интерпретацию для степенной функции и имеет постоянную величину. Обобщение понятия эластичности на другие формы регрессионной связи приводит к тому, что
Поскольку коэффициент эластичности для линейной функции не является постоянной величиной, то вводят средний показатель эластичности:
Для характеристики относительной силы влияния каждого фактора в многофакторной регрессии используют частные коэффициенты эластичности: В частном случае двухфакторной линейной зависимости для характеристики влияния Х1 и Х2 на Y рассчитывают частные коэффициенты эластичности:
Экономическая интерпретация этой статистической взаимосвязи является следующей. При увеличении фактора Х1 на 1% от его среднего уровня объясняемая переменная Y изменяется на Направление изменения объясняемой переменной зависит от знака коэффициента при соответствующем факторе.
6.3. Линейные коэффициенты парной, частной и множественной корреляции
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|