Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Перетин поверхні прямою лінією

Для того щоб визначити точки перетину прямої з поверхнею будь-якого геометричного тіла (призма, піраміда, циліндр, конус, куля тощо), поступають точно так, як і при визначенні точки перетину прямої з площиною.

Перетин багатогранника прямою лінією це – дві точки, які називаються точками входу і виходу.

Точка перетину прямої лінії з поверхнею зазвичай визначається за схемою:

1) через пряму лінію проводять допоміжну розтинальну площину (найчастіше проекціювальну);

2) будують лінію перетину допоміжної площини з поверхнею;

3) визначають точки перетину прямої лінії з лінією перетину поверхні допоміжною площиною.

Побудову точок перетину прямої лінії E₁F₁, E₂F₂ з поверхнею обертання, заданої контуром, показано на рис. 15.

На прикладі через дану пряму лінію проведено фронтально-проекціювальну площину Р₂ і побудовано лінію перетину цієї площини з поверхнею обертання. Пряма лінія перетинається з побудованою кривою лінією в точках К₁К₂, М₁М₂, які є шуканими точками входу прямої E₁F₁, E₂F₂ у поверхню та її виходу з неї.

Увага!

При замкненні прямої до допоміжної площини останню необхідно вибрати так, щоб її лінія перетину з поверхнею проеціювалась на площину проекцій у вигляді простих ліній – прямої або кола.

Рис. 15 Перетин поверхні прямою лінією

3.ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

Дві поверхні перетинаються по кривим лініям (ламана лінія), яку можна визначити по точкам перетину ліній однієї поверхні з іншою або по точкам перетину ліній кожної з поверхонь – ліній першої поверхні з другою і ліній другої поверхні з першою. Такими лінями можуть бути твірні в різних їх положеннях, ходи точок твірної лінії, а також будь-які лінії, що лежать на поверхні.

Таким чином, для того, щоб побудувати лінію перетину двох поверхонь, необхідно визначити ряд спільних точок, що належать їм, а потім ці точки поєднати у визначеній послідовності

Лінією перетину може бути:

 просторова крива – при перетині двох кривих поверхонь чи кривої поверхні і багатогранника;

 просторова ламана лінія – при перетині двох багатогранників.

 в окремих випадках лінія перетину двох поверхонь може бути плоскою – прямою лінією, колом, еліпсом тощо.

Узагальнений алгоритм розв’язування задач на визначення лінії перетину двох поверхонь:

1. Увести допоміжну розтинальну площину, яка перетинає кожну із заданих поверхонь по найбільш простим і зручним для побудови лініям;

2. Визначити лінію перетину допоміжної площини з кожною поверхнею;

3. Знайти точки (чи п точок) перетину одержаних ліній, які й будуть шуканими;

4. Виконавши зазначені побудови п разів, отримаємо п точок. Сполучивши однойменні проекції цих точок плавними кривими, отримаємо проекції шуканої лінії перетину.

Послідовне введення ряду допоміжних площин, дає можливості визначити необхідне число точок.

Вказівка

Допоміжну площину необхідно обирати так, щоб її лінія перетину з кожною поверхнею проекціювалась на площину проекцій у вигляді простих ліній – прямої чи кола.

У ряді випадках при розв’язанні задач використовують комбінацію допоміжних розтинальних площин. Із загальної схеми побудови лінії перетину поверхонь можна виділити два основних способи:

– спосіб допоміжних розтинальних площин;

спосіб сфер (концентричних і ексцентричних сфер):

Спосіб допоміжних розтинальних площин використовують у тому випадку, коли вони перетинаються, з кожною з даних поверхонь, дають прямі лінії або кола. Часто проекціювальні площини вибирають у вигляді площин рівня – площин, паралельних площинам проекцій (рис. 17);

– спосіб розтинальних концентричних сфер використовують для побудови лінії перетину конічних та циліндричних поверхонь (рис. 18);

– спосіб допоміжних ексцентричних сфер використовують для побудови лінії перетину двох поверхонь обертання, які мають спільну площину симетрії (рис. 19).

На рис. 17 показано побудову лінії перетину п’ятигранної піраміди з циліндром, твірні якого перпендикулярні до горизонтальної площини проекцій.

Рис. 17 Спосіб допоміжних розтинальних площин

Лінія перетину складається (рис. 17) з п’яти однакових між собою дуг еліпсів. Еліпси можуть бути побудовані по точкам перетину ребер й інших довільних прямих піраміди з поверхнею циліндра або за допомогою допоміжних горизонтальних площин, які перетинають циліндр по колу, а піраміду – по правильним п’ятикутникам.

На рис. 18 показано побудову лінії перетину зрізаного конуса з циліндром, методом концентричних сфер. Осі цих двох поверхонь обертання перетинаються і вони мають спільну фронтальну площину симетрії, а також задані однією фронтальною проекцією. Точки перетину меридіанів поверхонь обертання належать шуканій лінії перетину поверхонь. Їх визначаємо безпосередньо (без будь-яких додаткових побудов) на кресленику.

Рис. 18 Спосіб концентричних сфер

На рис. 19 побудовано лінію перетину поверхонь обертання, що мають спільну площину симетрії (одна з поверхонь – сфера), методом ексцентричних сфер. Осі поверхонь обертання не перетинаються. Кожна з таких поверхонь має цілий ряд кіл, по яким перетинаються ексцентричні сфери. Тут вісь поверхні обертання і центр сфери розташовані в одній фронтальній площині.

Рис.19 Спосіб ексцентричних сфер.

Будь-яка допоміжна розтинальна сфера з радіусом R і центром на осі поверхні обертання перетинає поверхню обертання і дану сферу по колу. Кола перетинаються у точках шуканої лінії перетину поверхонь. Обираючи інші розтинальні сфери різного радіуса та з різним положенням центрів на осі поверхні обертання, отримаємо ряд точок шуканої лінії перетину поверхонь.

Рис.20 Перетин багатогранників

Лінію перетину двох багатогранників можна визначити, виконуючи наступні побудови:

1) знайти точки перетину ребер одного багатогранника з гранями іншого;

2) знайти точки перетину ребер другого багатогранника з гранями першого;

3) знайдені точки послідовно з’єднати між собою прямими лініями.

Вказівка

З’єднувати між собою необхідно обов’язково тільки ті точки, які лежать на одних і тих же гранях кожного з багатогранників.

Якщо хоча б одна з поверхонь має прямолінійні твірні, то лінію перетину можна визначити наступним шляхом: нанести на цій поверхні ряд твірних і знайти точки перетину їх з іншою поверхнею, а потім з’єднати ці точки кривою лінією.

Інколи для того, щоб знайти точки лінії перетину кривих поверхонь, простіше ввести не площини, а поверхню – циліндричну, конічну або кульову.

Будь-яка поверхня обертання перетинається з поверхнею кулі по колу, якщо центр кола лежить на осі обертання.

Запитання для перевірки знань

1. Укажіть загальну схему визначення точок лінії перетину поверхні площиною.

2. Які точки лінії перетину поверхні площиною називають головними (опорними)?

3. Укажіть послідовність графічних побудов визначення точок перетину прямої з поверхнею.

4. Укажіть умови, за яких в перетині конуса обертання площиною утворюється коло, еліпс, гіпербола, парабола, прямі, що перетинаються.

5. Укажіть послідовність графічних побудов під час визначення лінії перетину поверхонь другого порядку площинами.

6. Що називається фігурою перерізу?

7. У чому полягає сутність методу ребер (методу граней), визначення лінії перетину багатогранника?

8. Укажіть загальну схему побудови лінії перетину поверхонь.

9. По яких лініях перетинаються між собою циліндричні поверхні, твірні яких паралельні між собою?

10. По яких лініях перетинаються конічні поверхні зі спільною вершиною?

11. Які особливості побудови точок перетину кривих ліній з поверхнями?

12. Назвіть основні методи побудови ліній перетину поверхонь.

13. Опишіть методи розтинальних площин і сферичних посередників для визначення лінії перетину поверхонь.

14. Як визначити видимість лінії перетину поверхонь?

⇐ Предыдущая 1 2 3 45