Временные ряды в эконометрических исследованиях

Краткая теория

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значения какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда () формируется из трендовой (), циклической () и случайной () компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент,- аддитивные модели, как произведение - мультипликативными моделями временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: ;

мультипликативная модель: .

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1. выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2. расчет значений сезонной компоненты ;

3. устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели;

4. аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнение тренда;

5. расчет полученных по модели значений или ;

6. расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

,

где , -коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

,

где , -коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) – коррелограммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

· линейная ;

· гипербола ;

· экспонента ;

· степенная функция ;

· парабола второго и более высоких порядков .

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве зависимой переменной выступает время , а в качестве зависимой переменной- фактические уровни временного ряда . Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например и , и расчет отклонений от трендов: и . Для дальнейшего анализа используются не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

;

если параболический тренд – вторыми разностями:

.

В случае экспоненциального и степенного ряда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид:

.

Параметры и в этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции в остатках используют критерий Дарбина-Уотсона и расчет величины:

 

, .

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определятся по формуле:

, .

Критерий Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением:

.

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

.

Коэффициент при переменной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени без учета лаговых значений фактора . Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

В момент времени воздействие факторной переменной на результат составит условных единиц; в момент времени воздействие на можно охарактеризовать величиной и т.д. Эти суммы называются промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага воздействие факторной переменной на результат описывается долгосрочным мультипликатором .

Величины

, ()

называют относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то для любого

и .

Величина среднего лага определяется по формуле средней арифметической взвешенной

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени .

Медианный лаг - это период, в течение, которого с момента времени будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

, где - медианный лаг.

Оценку параметров модели с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

, , .

Уравнение регрессии преобразуется к виду:

.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

.

Уравнение регрессии примет вид:

,

где , , .

Модели, содержащие в качестве фактора лаговые значения зависимой переменной, называют моделями авторегрессии, например:

.

Как и в модели с распределенным лагом, в этой модели характеризует краткосрочное изменение под воздействием изменения на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

.

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.

 

Примеры решения задач

Пример 5.2.1.

По данным за 18 месяцев построено уравнение зависимости прибыли предприятия (млн. руб.) от цен на сырье (тыс. руб. за 1 т) и производительности труда (ед. продукции на 1 работника):

.

При анализе остаточных величин были использованы значения, приведенные в таблице 5.2.1.

Таблица 5.2.1

№
	…	…	…

, .

Требуется:

1. По трем позициям рассчитать , , , , .

2. Рассчитать критерий Дарбина-Уотсона.

3. Оценить полученный результат при 5%-ном уровне значимости.

4. Указать, пригодно ли данное уравнение для прогноза.

Решение.

1. определяется путем подстановки фактических значений и в уравнение регрессии:

 

Остатки рассчитываются по формуле .

Следовательно,

, , ;

, , ;

- те же значения, что и , но со сдвигом на один месяц.

Результаты вычислений оформим в виде таблицы 5.2.2.

Таблица 5.2.2

№
			-	-	-
		-50		-70
…	…	…	…	…	…	…
∑

 

2. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по формуле

.

3. Выдвигаем гипотезу о наличии автокорреляции в остатках. Определяем табличное значение статистики Дарбина-Уотсона. При уровне значимости , (месяцев) и (число факторов) нижнее значение равно , а верхнее .Чтобы оценить значимость коэффициента автокорреляции вычислим интервалы:

Если статистика Дарбина-Уотсона , то принимается гипотеза о наличии положительной автокорреляции в остатках, если , то принимается гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции в остатках, если , то гипотеза отклоняется, наконец, если или , то гипотезу нельзя ни принять, ни отвергнуть.

В данной задаче , то есть . Это означает наличие отрицательной автокорреляции в остатках.

4. Уравнение не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь различные причины: возможно, в уравнение не включен какой-либо существенный фактор, либо неточна форма связи, а, может быть, в рядах динамики имеется общая тенденция.

 

Пример 5.2.2

Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расхода на товар А (таблица 5.2.3).

Таблица 5.2.3

Показатель	1985г.	1986г.	1987г.	1988г.	1989г.	1990г.
Расходы на товар А, руб.
Доход на одного члена, % к 1985 г.

Требуется:

1. Определить ежегодные абсолютные приросты доходов и расходов и сделать выводы о тенденции развития каждого ряда.

2. Перечислить основные пути устранения тенденции для построения модели спроса на товар А в зависимости от дохода.

3. Построить линейную модель спроса, используя первые разности уровней исходных динамических рядов.

4. Пояснить экономический смысл коэффициента регрессии.

5. Построить линейную модель спроса на товар А, включая в нее фактор времени. Интерпретировать полученные параметры.

Решение.

1. Обозначим расходы на товар А через , а доходы одного члена семьи- через . Ежегодные абсолютные приросты определяются по формулам

, .

Расчеты можно оформить в виде таблицы (табл. 5.2.4).

Таблица 5.2.4

	-		-

Значения не имеют четко выраженной тенденции, они варьируются вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда (линейной тенденции). Аналогичный вывод можно сделать и по ряду ; абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно характеризуются линейной тенденцией.

2. Так как ряды динамики имеют общую тенденцию к росту, то для построения регрессионной модели спроса на товар А необходимо устранить тенденцию. С этой целью модель может строиться по первым разностям, т.е. , если ряды динамики характеризуются линейной тенденцией.

Другой возможный путь учета тенденции при построении модели - найти по каждому ряду уравнение тренда:

и

и отклонения от него:

и .

Далее модель строится по отклонениям от тренда:

.

При построении эконометрических моделей чаще используется другой путь устранения тенденции – включение в модель фактора времени. Иными словами, модель строится по исходным данным, но в нее в качестве самостоятельно фактора включается время, т.е. .

3. Модель имеет вид

.

Для определения параметров и применяется МНК. Система нормальных уравнений следующая:

Применительно к нашим данным имеем

Решая эту систему, получим и , откуда модель имеет вид:

.

4. Коэффициент регрессии . Он означает, что с ростом душевого дохода на 1%-ный пункт расходы на товар А увеличиваются со средним ускорением, равным 0,565 руб.

5. Модель имеет вид

.

Применяя МНК, получим систему нормальных уравнений:

 

Применительно к нашим данным, система примет вид:

Решая ее, получим , , .

Уравнение регрессии имеет вид

.

Параметр фиксирует силу связи и . Его величина означает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1%-ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар А возрастают в среднем на 0,322 руб. Параметр характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар А под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

 

Пример 5.2.3.

По данным за 18 месяцев некоторого временного ряда были получены значения коэффициентов автокорреляции уровней:

,

,

,

,

,

,

;

-коэффициенты автокорреляции -го порядка.

 

Задание:

Для прогнозирования значений в будущие периоды предполагается построить уравнение авторегрессии. Выбрать наилучшее уравнение, обосновать выбор. Указать общий вид этого уравнения.

 

Решение.

Наиболее целесообразно построение уравнения авторегрессии вида:

,

так как значение свидетельствует очень тесной связи между уровнями ряда с лагом в 4 месяца.

Кроме того, возможно построение и множественного уравнения авторегрессии от и , так как :

.

Сравнить полученные уравнения и выбрать наилучшее решение можно с помощью скорректированного коэффициента детерминации.

 

Пример 5.2.4.

На основе помесячных данных о потреблении электроэнергии в регионе (млн. кВт∙ч) за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся ниже:

январь	+25	май	-32	сентябрь	+2
февраль	+10	июнь	-38	октябрь	+15
март	+6	июль	-25	ноябрь	+27
апрель	-4	август	-18	декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

(при расчете параметров тренда для моделирования переменной времени использовались натуральные числа ).

Задание:

1. Определите значение сезонной компоненты за декабрь.

2. На основе построенной модели дайте точечный прогноз потребления электроэнергии на первый квартал следующего года.

Решение.

1. Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла должна быть равна нулю (в соответствии с методикой построения аддитивной модели временного ряда). Следовательно, значение сезонной компоненты за декабрь составит:

.

2. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты .

Ожидаемое потребление электроэнергии за первый квартал следующего года есть сумма ожидаемого потребления электроэнергии за январь , февраль и март .

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда:

;

;

.

Соответствующие значения сезонной компоненты составят

, , .

Таким образом,

;

;

.

Ожидаемое потребление электроэнергии за первый квартал следующего года в регионе составит (млн. кВт∙ч).

 

Пример 5.2.5.

При исследовании капитальных расходов от капитальных ассигнований была получена модель:

где - капитальные расходы в квартале (млн. $),

-капитальные ассигнования в квартале (млн. $),

- фиктивная переменная, равная 1 в квартале и равная 0 в остальных кварталах .

Задание.

Выпишите краткосрочный, долгосрочный и промежуточные мультипликаторы в данной модели. Определите средний и медианный лаг. Поясните смысл этих показателей.

 

Решение.

Рассматриваемое уравнение представляет собой модель с распределенными лагами вида:

.

Коэффициент при переменной характеризует среднее абсолютное изменение капитальных расходов при изменении капитальных ассигнований на 1 млн. $ за фиксированный квартал без учета лаговых значений . Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

В момент времени воздействие факторной переменной на результат составит (млн. $). То есть в следующем квартале от фиксированного квартала увеличение капитальных ассигнований на 1 млн. $ влечет увеличение капитальных расходов на 0,147 млн. $. В момент времени воздействие на можно охарактеризовать величиной (млн. $) и т.д.. Эти суммы называются промежуточными мультипликаторами.

Для максимального лага воздействие факторной переменной на результат описывается долгосрочным мультипликатором . В рассматриваемой модели , поэтому через 7 кварталов от фиксированного квартала увеличение капитальных ассигнований на 1 млн. $ влечет увеличение капитальных расходов на величину

(млн. $).

Для определения среднего и медианного лага нам потребуется рассчитать относительные коэффициенты, которые определяются по формуле:

, ().

, , , ,

, , , .

Величина среднего лага определяется по формуле средней арифметической взвешенной

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени :

.

Медианный лаг-это период, в течение, которого с момента времени будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

, где - медианный лаг.

Так как , то .

Пример 5.2.6.

На основе помесячных данных за последние 20 лет изучается зависимость между уровнем дивидендов по обыкновенным акциям (%) от прибыли компании (тыс. $). Имеется следующая информация:

1) результаты аналитического выравнивания рядов:

тренд в форме параболы второго порядка

а) для ряда : , ();

б) для ряда : , ();

линейные тренды

а) для ряда : , ();

б) для ряда : , ();

2) коэффициенты корреляции:

по исходным уровням рядов -0,98;

по отклонениям от параболического тренда- 0,78;

по отклонениям от линейных трендов-0,45;

по первым разностям – 0,42;

по вторым разностям -0,76.

 

Задание.

1. Есть ли взаимосвязь между исследуемыми временными рядами? Если есть, то укажите количественную характеристику взаимосвязи между исследуемыми временными рядами. Ответ обоснуйте.

2. Поясните причины различия полученных мер тесноты связи.

 

Решение.

1. Высокие коэффициенты детерминации, полученные при построении параболических трендов по исходным уровням временных рядов, указывают на нарушение условия стационарности, то есть исходные временные ряды характеризуются параболической тенденцией. Следовательно, уравнение регрессии следует строить не по исходным уровням временных рядов, а по вторым разностям или по отклонениям от параболического тренда. Из условия задачи видно, что коэффициенты корреляции для уравнений регрессии, построенных по вторым разностям и по отклонениям от параболического тренда высоки (0,84 и 0,78 соответственно), что говорит о том, что между исходными временными рядам действительно существует тесная связь. Количественной характеристикой этой связи можно считать коэффициент корреляции для уравнения регрессии, построенного по вторым разностям 0,84.

2. Коэффициент корреляции, полученный по исходным уровням 0,98, дает завышенную оценку тесноты связи между исследуемыми признаками, поскольку на него оказывает влияние сильная тенденция исходных временных рядов.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

 

1. Что такое эконометрика? Что является предметом изучения эконометрики? Назовите основные задачи эконометрики.

2. Что такое парная регрессия? Что такое парная линейная регрессия? Какие классы нелинейных регрессий вызнаете? Приведите примеры.

3. В чем заключается метод наименьших квадратов (МНК)?

4. По совокупности 30 предприятий торговли строится модель вида между признаками: -цена на товар А, тыс.руб.; -прибыль торгового предприятия, млн.руб. Рассчитаны величины , , , . Найдите коэффициенты и .

5. По совокупности 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: - цена на товар А, тыс.руб.; -прибыль торгового предприятия, млн.руб. При оценке нелинейной регрессионной модели были получены результаты: ; . Оцените тесноту связи между признаками и .

6. Как произвести оценку качества построенной парной регрессии? Допустимый предел?

7. Для продукции вида А модель зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядит следующим образом: . Известно также, что в среднем объем выпускаемой продукции составил 2000 единиц. На сколько процентов в среднем по совокупности увеличатся удельные постоянные расходы, если объем выпускаемой продукции увеличится на 1% от своего среднего значения?

8. По группе предприятий, производящих однородную продукцию известн

⇐ Предыдущая1234

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: