Определите виды и проанализируйте структуру сложных суждений, запишите формулы

4.5.1. Игра может закончиться либо победой одного из соперников, либо ничьей.

Ответ: Дизъюнктивное суждение (дизъюнкция) – это сложное суждение с разделительным союзом «или», он может использоваться как в нестрогом (неисключающем) значении, так и в строгом (исключающем). Строгая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его строгом (исключающем) значении, который обозначается условным знаком «٧». С помощью этого знака строгое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «или a, или b»), где a и b – это два простых суждения. Так, сложное суждение: «Игра может закончиться либо победой одного из соперников, либо ничьей», – является строгой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: «игра может закончится победой одного из соперников», «игра может закончится ничьей». Обратим внимание на то, что эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно закончить игру и победой одного из соперников, и ничьей (если игра закончится победой одного из соперников, то точно не закончится ничьей, и наоборот), в силу чего данная дизъюнкция является строгой. Формула: a ٧ b

4.5.2. Если Петр любит ходить в гости, то Павел домосед.

Ответ: Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом «если … то» в тождественном (эквивалентном) значении. В данном случае этот союз обозначается условным знаком «↔», с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «если a, то b, и если b, то a»), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если Петр любит ходить в гости, то Павел домосед», – представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: «Петр любит ходить в гости», «Павел домосед». В данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если Петр любит ходить в гости, то Павел домосед, а если Павел домосед, то Петр любит ходить в гости. В эквиваленции две её части являются равнозначными суждениями. Формула: a↔ b

4.5.3. Для того, чтобы х было нечетным, достаточно, чтобы х было простым.

Ответ: Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом «если … то», который обозначается условным знаком «→». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a → b (читается «если a, то b»), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Для того, чтобы х было нечетным, достаточно, чтобы х было простым», – представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений: «Для того, чтобы х было нечетным», «достаточно, чтобы х было простым». В данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если для того, чтобы х было нечетным, то достаточно, чтобы х было простым), однако из второго не вытекает первое (если достаточно, чтобы х было простым, то это вовсе не означает, что оно нечетное). Первая часть импликации называется основанием, а вторая – следствием; из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формула: a → b.

4.5.4. Параллелограмм является квадратом, если и только если он прямоугольник и его стороны равны.

Ответ: Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом «если … то» не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается условным знаком «↔», с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «если a, то b, и если b, то a»), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Параллелограмм является квадратом, если и только если он прямоугольник и его стороны равны», – представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: «Параллелограмм является квадратом», «параллелограмм - прямоугольник и его стороны равны». В данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если параллелограмм является квадратом, то он обязательно прямоугольник и его стороны равны, а если параллелограмм - прямоугольник и его стороны равны, то он обязательно квадрат. В эквиваленции, в отличие от импликации, не может быть ни основания, ни следствия, т. к. две её части являются равнозначными суждениями. Формула: a↔ b

4.5.5. Если он принадлежит к нашей компании, то он храбр и на него можно положиться.

Ответ: Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом «если … то» не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается условным знаком «↔», с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из трех простых суждений, можно представить в виде формулы: a b с (читается «если a, то b и с, и если b и с, то a»), где a и b и с – это три простых суждения. Например, сложное суждение: «Если он принадлежит к нашей компании, то он храбр и на него можно положиться», – представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений «он храбр», «на него можно положится» (представляющих собой конъюнктивное суждение, обозначается условным знаком «∧») и простого суждения «он принадлежит к нашей компании». В данном случае первое простое суждение «он принадлежит к нашей компании» связано со вторым сложным конъюнктивным суждением «он храбр и на него можно положиться» так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если он принадлежит к нашей компании, то он обязательно храбр и на него можно положиться, а если храбр и на него можно положиться, то он обязательно принадлежит к нашей компании. Таким образом формула представленного суждения - а ↔ (b∧с)

4.5.6. Он похудел то ли от того, что мало спит, то ли от того, что мало ест, то ли оттого, что много двигается.

Ответ: Нестрогая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его нестрогом (неисключающем) значении, который обозначается условным знаком «∨». С помощью этого знака нестрогое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух или более простых суждений, можно представить в виде формулы: a ∨ b ∨ c (читается «a или b или с»), где a и b и с – это три простых суждения. Например, сложное суждение: «Он похудел то ли от того, что мало спит, то ли от того, что мало ест, то ли от того, что много двигается», – является нестрогой дизъюнкцией (разделением) трех простых суждений: «Он похудел от того, что мало спит», «Он похудел от того, что мало ест», «Он похудел от того, что много двигается». Эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно похудеть и от того, что мало спишь, и от того, что мало ешь, и от того, что много двигаешься одновременно, поэтому данная дизъюнкция является нестрогой. Формула: a ∨ b ∨ c

4.5.7. «Не продается вдохновенье, но можно рукопись продать» (Пушкин А.С. «Разговор книгопродавца с поэтом»).

Ответ: Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом «если … то», который обозначается условным знаком «→». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a → b (читается «если a, то b»), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Не продается вдохновенье, но можно рукопись продать», – представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений: «не продается вдохновенье», «можно рукопись продать». В данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если не продается вдохновенье, то обязательно можно рукопись продать), однако из второго не вытекает первое (если можно рукопись продать, то это вовсе не означает, что продается вдохновенье). Формула: a → b

4.5.8. «Наш герой живет в Коломне, где-то служит, дичится знатных и не тужит» (Пушкин А. С. «Медный всадник»).

Ответ: Конъюнктивное суждение (конъюнкция) – это сложное суждение с соединительным союзом «и», который обозначается в логике условным знаком «∧». С помощью этого знака конъюнктивное суждение, состоящее из четырех простых суждений, можно представить в виде формулы: a ∧ b∧ с∧ d (читается «a и b и с и d»), где a,b, с, d – это четыре каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: «Наш герой живет в Коломне, где-то служит, дичится знатных и не тужит», – является конъюнкцией (соединением) четырех простых суждений: «Наш герой живет в Коломне», «где-то служит», «дичится знатных», «не тужит». Формула: a ∧ b∧ с∧ d.