 |
Тригонометрические формулы половинного угла
|
|
|
|
ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ, СВОЙСТВА)
Функция – это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у. y= f(x), х –независимая переменная, у- зависимая переменная.
Способы задание – аналитические, графические, табличные
Свойства функции: 1. область определения функции Д(у) – это все допустимые значения переменной х для данной функции. 2. область значения функции Е(у) – это все допустимые значения переменной у для данной функции. 3. четность функции. Функция наз. четной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x)=f(x); функция наз. нечетной, если выполняется неравенство f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен оси у, а график нечетной – относительно началу координат. 4. нули функции – это значения х, при которых у=0. графически – это точки пересечения с осью х. 5. периодичность. Функция называется периодической с периодом Т, если для любого х выполняется равенство f(x-t)=f(x)-f(x+t). 6. ограниченность. Функция называется ограниченной сверху, если для любого х выполняется неравенство f(x)<_M. Функция называется неограниченной снизу, если выполняется неравенство f(x)>-m, если m<-f(x)<-M – функция ограниченная сверху и снизу. 7. монотонность – это возрастание и убывание функции. Функция называется возрастающей, если большему значению х соответствует большее значение у, а если соответствует меньшее значение у – то она убывающая. 8. экстремум – это точки максимума и минимума функции. 9. промежутки знака постоянства – те значения х, при которых функция у>0, y<0. 10. выпуклость функции. 11. непрерывность.
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ. ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕЛБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ.
|
|
|
График функций – множество точек координатной плоскости (х;у) или (х; f(x)), где х – абсцисса, а у – ордината.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Число называется пределом последовательности, если в любой заранее выбранной окрестности точки в содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Lim – обозначение предела. Предел последовательности у(п) равен числу в при п стремящемся к бесконечности.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
График последовательности и график функции имеют прямую у=2, к которой график бесконечно близко приближается, но не пересекает. Эта прямая называется асимптотой.
На луче [а; +&], ф-я имеет асимптоту у=в => lim f(x)=в
На луче [-&; а], существует асимптота у=в => lim f(x)=в
ЛОГАРИФМ. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА.
Логарифмом положительного числа в по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в.
Свойства логарифмов:
Теорема 1. логарифм произведения 2х положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Теорема 2. логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
Теорема 3. если а и в – положительные числа, причем а =/ в, то для любого числа r справедливо равенство
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА.
Показательной функцией наз функция вида у=а(х), где а>0, а=/1.
| № | а>1 | 0<а<1 |
| Д(f)=(-&;+&) | Д(f)=(-&;+&) | |
| E(f)=(0;+&) | E(f)=(0;+&) | |
| Возрастает | убывает | |
| непрерывна | непрерывна |
График показательной ф-и наз экспонентой.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Степенными ф-ми наз функции вида у=х(r), r – любое действительное число.
Свойства ф-и у=х(m/n), где m/n>1
1. Д(f)= [0;+& ]. 2 не явл ни четной, ни нечет, 3 возрастает на [0;+&]. 4 не огранич сверху. Огранич снизу. 5 не имеет наиб значен, у(наим)=0. 6 нпрерывна. 7 Е(f)= [0;+&]. 8 выпукла вниз.
|
|
|
Свойства ф-и у=х(m/n), где 0<m/n<1
1. Д(f)= [0;+& ]. 2 не явл ни четной, ни нечет, 3 возрастает на [0;+&]. 4 не огранич сверху. Огранич снизу. 5 не имеет наиб значен, у(наим)=0. 6 нпрерывна. 7 Е(f)= [0;+&]. 8 выпукла вверх
Свойства ф-и у=х(-m/n),
1. Д(f)= [0;+& ]. 2 не явл ни четной, ни нечет, 3 убывает на [0;+&]. 4 не огранич сверху. Огранич снизу. 5 не имеет наиб значен, у(наим)=0. 6 нпрерывна. 7 Е(f)= [0;+&]. 8 выпукла вниз
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ Ф-Я И ЕЕ СВ-ВА
Логарифмическая ф-я у=log(а)х – это обратная ф-я. Граикф-и у=log(а)х симметричен графику ф-и у=а(х) относит прямой у=х.
Св -ва функции у=log(а)х, а>1
1. Д(f)= [0;+& ]. 2 не явл ни четной, ни нечет, 3 возрастает на [0;+&]. 4 не огранич сверху, не огранич снизу. 5 не имеет наиб значен, у(наим)=0. 6 нпрерывна. 7 Е(f)= [-&;+&]. 8 выпукла вверх
Св-ва ф-и у=log(а)х, 0<а<1
1. Д(f)= [0;+& ]. 2 не явл ни четной, ни нечет, 3 убывает на [0;+&]. 4 не огранич сверху, не огранич снизу. 5 не имеет наиб значен, у(наим)=0. 6 нпрерывна. 7 Е(f)= [-&;+&]. 8 выпукла вниз
| а>1 | 0<а<1 |
| (1;0) | (1;0) |
| (а;1) | (1/а; -1) |
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Если под знаком тригонометрической ф-и содержится выражение вида Пn/2 +-t, где п – произвольное целое число, то такое выражение можно привести к более простому виду, при котором под знаком тригонометрич ф-и будет содержаться только аргумент t. Соответствующие формулы наз формулами приведения.
sin(П+t)=-sint
sin(П-t)=sint
Sin (2П-t)=-sint
sin(П/2-t)=cost
sin (360+ a)= sin a
sin (3П/2-t) =-cost
cos(2П-t)=cost
Cos(П+t)=cost
cos(3П/2+t)=sint
cos(П/2+t)= -sint
cos (2П+t) = cost
cos(180-a) =-cos a
tg(270-a) =ctg
tg(П-t)=-tgt
ctg(2П+t)=ctgt
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Sin2x =2sinx*cosx
Cos2x=cos(2)x-sin(2)x
Cos2x=2cos(2)x-1
Tg2x= 2tgx/1-tg(2)x
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ
Sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny
Cos(x+y)= cosx*cosy-sinx*siny
Sin(x-y)=sinx*cosy-cosx*siny
Cos(x-y)=cosx*cosy+sinx*siny
Tg(x+y)= tgx+tgy/1-tgx*tgy
Tg(x-y)= tgx-tgy/1+tgx*tgy
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННОГО УГЛА
Cos(2)x=1+cos2x/2
Sin(2)x=1-cos2x/2
ФУНКЦИЯ У=SINX (ГРАФИК, СВ-ВА)
График этой ф-и наз синусоидой
Св-ва:
1. Д(у)= [-&;+& ]., 2.Е(у)= [-1;+1], 3. нечетная, 4 нули ф-и у=0, при х=Пк, если к – целое число. 5 у=sinx – ф-я периодич с миним положит Т, Т=2П. 6. у=sinx – огранич ф-я сверху и снизу. 7 монотонность. Ф-я возрастает на промежутке (- П/2+2Пк; П/2+2Пк). Убывает на промежутке (П/2+2Пк; 3П/2+2Пк). 8. экстремум у(мах) =1, при х=П/2+2Пк. У(мин)= -1, при х= -П/2+2Пк. 9-10. промежутки знака постоянства, выпуклость вогнутость. У>0, х э (2Пк; П+2Пк), к э Z – выпукла вверх, у<0, х э (-П+2Пк; 2Пк), к э Z – выпукла вниз. 11 непрерывна.
|
|
|
Ф-Я У=COSX, СВ-ВА, ГРАФИК
Воспользуемся формулой приведения sin(П/2+x)=cosx, тогда cosx = sin (x+П/2). След, график ф-и y=cosx, можно получить из графика ф-и у=sinx параллельным переносом вдоль оси х на П/2 влево.
Св-ва
1.. Д(у)= [-&;+& ]., 2.Е(у)= [-1;+1], 3. четная, 4 нули ф-иcosx=0, при х=П/2+Пк.. 5 пеиодическая, Т=2П. 6. у=cosx – огранич ф-я сверху и снизу. 7 монотонность. Ф-я возрастает на промежутке (- П+2Пк; 2Пк). Убывает на промежутке (2Пк; П/2+2Пк;). 8. экстремум х э (1;2Пк) – мах, х э (-1; П+2Пк) - мin. 9-10. промежутки знака постоянства, выпуклость вогнутость. cosx>0, х э (-П/2+2Пк;; П/2+2Пк), к э Z – выпукла вверх, cosx<0, х э (П/2+2Пк; 3П/2+2Пк), к э Z – выпукла вниз. 11 непрерывна.
Ф-Я У=TGX (ГРАФИК,СВ-ВА)
График ф-и наз тангенсоидой.
Св-ва
1. Д(у)=(-П/2 +Пк; П/2+Пк), 2. Е(у) = (-&;+&). 3 нечетная, 4 нули ф-и. tgz=0, при х=Пк, к э z, 5 периодическая, Т=П, 6 не ограниченная ф-я, 7 возрастает (-П/2+Пк; П/2+Пк). 8 экстремумов нет. 9-10 промежутки знака постоянства, выпуклость вогнутость. Tgx>0, если х э (0+Пк; П/2+Пк), к э z – выпуклая вниз, tgх<0, если х э (-П/2+Пк; Пк), к э z – выпукла вверх. 11 непрерывна в промежутке, соотв обл определ (-П/2 +Пк; П/2+Пк)
Ф-Я У =CTGX (СВ-ВА, ГРАФИК)
Рассмотрим формулу tg(П/2+х)= -ctgx, Ctgx = -tg (П/2+х), ctg x= -tg(х+П/2). Таким образом, график ф-и у =ctgx можно получить из графика ф-и у= tgx, переместив на П/2 влево симметричным отражением относительно оси х.
График ф-и наз тангенсоидой.
Св-ва
1.Д(у)= (Пк; П+Пк), 2 Е(у) = (-&;+&), 3 нечетная. 4 нули ф-и ctgx=0, при х =П/2+Пк, к э z. 5 периодичная Т=П. 6 неограниченная, 7 убывает на промежутке (Пк; П+Пк) 8 нет экстремумов. 9-10 промежутки знака постоянства, выпуклость вогнутость ctgx>0, при х э (Пк; П/2+Пк) – вогнута, ctg x<0 при х э (-П/2+Пк; Пк) – выпукла. 11 нерервна.
|
|
|
