 |
Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.
|
|
|
|
Расположение
1. прямая лежит в плоскости
2. прямая пересекает плоскость. Т.е. имеет с плоскостью 1 общую точку
3. прямая и плоскость не имеют общих точек, т.е. прямая и плоскость параллельные.
Признак: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
1. если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
2. если одна из 2х прямых параллельна данной, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Расположение
1. плоскости имеют хотя бы 1 общую точку, т.е. пересекаются по прямой
2. плоскости не пересекаются, т.е. не имеют ни 1 общей точки, в этом случае они наз параллельными.
признак
если 2 пересекающиеся прямые 1 плоскости соответственно параллельны 2 прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Св-во
1. если 2 параллельные плоскости пересечены 3, то линии их пересечения параллельны
2. отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Прямые наз перпендиулярными, если они пересекаются под <90.
Лемма: если 1 из 2 параллельных прямых перпендикулярна к 3й прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Прямая наз перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.
|
|
|
Теорема: если 1 их 2х параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема: если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак
Если прямая перпендикулярна к 2м пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Построим плоскость и т.А, не принадлежащ плоскости. Их т.А проведем прямую, перпендик плоскости. Точку пересечения прямой с плоскостью обознач Н. Отрезок АН – перпендикуляр, проведенныйиз т.А к плоскости. Т.Н – основание перпендикуляра. Озьмем в плоскости т.М, не совпадающую с Н. Отрезок АМ – наклонная, проведенная из т.А к плоскости. М – основание наклонной. Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость. Перпендикуляр АН – расстояние от т.А до плоскости. Любое расстояние – это часть перпендикуляра.
Теорема о 3 перпендикулярах:
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Углом между прямой и плоскостью наз угол между этой прямой и ее проекцией на плоскости.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Двугранным углом наз фигура, образованная прямой и 2 полуплоскостями с общей границей а, не принадлеж одной плоскости.
Граница а – ребро двугранного угла. Полуплоскости – грани двугран угла. Для того, чтобы измерить двугранный угол. Нужно построить внутри него линейный угол. Отметим на ребре двугран угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч, перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол наз линейным глом двугран угла. Их внутри двугран угла может быть бесконечно много. Все они имеют одинак величину.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
|
|
|
Две пересекающиеся плоскости наз перпендикулярными, если угол между ними равен 90.
Признак:
Если 1 из 2х плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
МНОГОГРАННИКИ
Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Грани – многоугольники, из которых составлены многогранники. Ребра – стороны граней. Вершины – концы ребер. Диагональю многогранника наз отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие 1 грани. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, наз. секущй плоскостью. Общая часть многогранника и секущей площади наз сечением многогранника. Многогранники бывают выпуклые и вогнутые. Многогранник наз выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани (тетраэдр, параллепипед, октаэдр). В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360.
ПРИЗМА
Многогранник, составленный из 2х равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и п - параллелограммов наз призмой.
Многоугольники А1А2..А(п) и В1В2..В(п) – основания призмы. А1А2В2В1…- параллелограмы, А(п)А1В1В(п) – боковые грани. Отрезки А1В1, А2В2..А(п)В(п) – боковые ребра. В зависимости от многоугольника, лежащего в основании призмы, призма наз п-угольной. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания наз высотой. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основанию, то призма – прямая, а если не перпендикулярны – то наклонная. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра. Прямая призманаз правильной, если ее основание – правильные многоугольники, все боковые грани – равные прямоугольники.
ПАРАЛЛЕПИПЕД
АВСД//А1В1С1Д1, АА1//ВВ1//СС1//ДД1, АА1=ВВ1=СС1=ДД1 (по св-ву параллельных плоскостей)
Параллепипед состоит из 6 параллелограммов. Параллелограммы наз гранями. АВСД и А1В1С1Д1 – основания, остальные грани наз боковыми. Точки А В С Д А1 В1 С1 Д1 – вершины. Отрезки, соединяющие вершины – ребра. АА1, ВВ1, СС1, ДД1 – боковые ребра.
Диагональю параллепипеда – наз отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие 1 грани.
|
|
|
Св-ва
1. противоположные грани параллепипеда параллельны и равны. 2. Диагонали параллепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
ПИРАМИДА
Рассмотрим многоугольник А1А2..А(п), точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку Р с вершинами многоугольника и получим п треугольников: РА1А2, РА2А3….РА(п)А1.
Многогранник, составленный из п-угольника и п-треугольников наз пирамидой. Многоугольник – основание. Треугольники – боковые грани. Р – вершина пирамиды. Отрезки А1Р, А2Р..А(п)Р – боковые ребра. В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамида наз п-угольной. Высотой пирамиды наз перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания. Пирамида наз правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и высота попадает в центр основания. Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды.
УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Рассмотрим пирамиду РА1А2А3А(п). проведем секущую плоскость, параллельную основанию. Эта плоскость делит нашу пирамиду на 2 части: верхняя – пирамида, подобная данной, нижняя – усеченная пирамида. Боковая поверхность состоит из трапеции. Боковые ребра соединяют вершины оснований.
Теорема: площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Выпуклый многогранник наз правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер. Примером правильного многогранника явл куб. Все его грани- равные квадраты, и в каждой вершине сходится 3 ребра.
Правильный тетраэдр составлен их 4 равносторонних треугольников. Каждая вершина – вершина 3 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине 180.
Правильный октаэдр сост из 8 равносторонник треугольников. Каждая вершина – вершина 4 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине =240
Правильный икосаэдр сост из 20 равносторонних треугольников. Каждая вершина – вершина 5 треугольник. Сумма плоских углов при каждой вершине 300.
|
|
|
Куб сост из 6 квадратов. Каждая вершина – вершина 3 квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине =270.
Правильный додекаэдр сост из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина – вершина 3 правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине =324.
Других видов правильных многогранников нет.
ЦИЛИНДР
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 наз цилиндром. Круги L и L1 наз основаниями цилиндра. Отрезки ММ1, АА1 – образующие. Образующие сост цилиндрическую или боковую поверхность цилиндра. Прямая, соед центры оснований О и О1 наз осью цилиндра. Длина образующей – высота цилиндра. Радиус основания (r) –радиус цилиндра.
Сечения цилиндра
Осевое проходит через ось и диаметр основания
Перпендикулярное к оси
Цилиндр – это тело вращения. Он получается вращением прямоугольника вокруг 1 из сторон.
КОНУС
Рассмотрим окружность (о;r) и прямую ОР перпендикулярную к плоскости этой окружности. Через каждую точку окружности L и т.Р проведем отрезки, их бесконечно много. Они образуют коническую поверхность и наз образующими.
Р- вершина, ОР – ось конической поверхности.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L наз конусом. Круг – основание конуса. Вершина конической поверхности – вершина конуса. Образующие коническую поверхность – образующие конуса. Коническая поверхность – боковая поверхность конуса. РО – ось конуса. Расстояние от Р до О – высота конуса. Конус – это тело вращения. Он получается вращением прямоуг треугольника вокруг катета.
Сечение конуса
Осевое сечение
Сечение перпендикулярное оси
СФЕРА И ШАР
Сферой наз поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка – центр сферы. Данной расстояние – радиус сферы.
Отрезок, соединяющ 2 точки сферы и проходящий через ее центр наз диаметром сферы.
Тело, ограниченное сферой наз шаром. Центр, радиус и диаметр сферы наз центром, радиусом и диаметром шара.
Сфера и шар –это тела вращения. Сфера получается вращением полуокружности вокруг диаметра, а шар получается вращением полукруга вокруг диаметра.
в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(х(0), у(0), Z(0) имеет вид (х-х(0))(2)+(у-у(0))(2)+(z-z(0))(2)= R(2)
|
|
|
