Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Обратные тригонометрические ф-и




Если /a/<- 1, то arccos а это такое число из отрезка [0;П], косинус которого равен а.

Arccos a=t ó cost=a, 0<-t<-П, arcos(-a) =П- arccos a,

Cost=a, t= +-arccos +2Пк, к э z

Если /а/<-1, то arcsin а это такое число из отрезка [-П/2;П/2], синус которого равен а.

Arcsin a=t ó sint=a, -П/2<-t<-П/2. arcsin (-a)= - arcsin a

T= (-1)(n) arcsin a+Пп, п э Z

Arctg а это такое число из интервала (-П/2; П/2), тангенс которого равен а.

Arctg a =x ótg x=a, -П/2<x<П/2., arctg(-a) = -arctg a

Х= arctg a+Пк, к э Z

Arcctg а это такое число из интервала (0;П), котангенс которого равен а.

Arcctg a =x ó ctgx=a, 0<x<П, arcctg (-a)= П-arcctg a

X= arcctg a +Пк, к э Z

 

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Тригонометрическими у-ми наз Ур-я, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических ф-й.

Cosx=a, x= +-arccos a +2Пп, п э Z

Cos x=0, x= П/2+Пп, п э Z

Cos x=1, х= 2Пп, п э Z

Сos x = -1, x= П+2Пп, п э Z

 

Sin x = a, x= (-1)(n)*arcsin a +Пп, п э Z

Sin x=0, x=пп, п э Z

Sin x = 1, х = П/2+2Пп, п э Z

Sin x = -1, x= -П/2+2Пп, п э Z

 

Tg x = a, x= arctg a +Пп, п э z

Ctgx=a, x= arcctg a+Пп, п э Z

К простейшим Ур-ям так же относят Ур-я, в которых под знаком тригонометрической ф-и записвны выражения вида кх+м. для решения таких Ур-й предлагается заменить выражение, стоящее под знаком тригонометрической ф-и переменной.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИВОДНОЙ. ФИЗ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Производная – предел отношения приращения ф-и к приращению аргумкнта, когда приращение аргумента стремится к о.

Производная обозначается ‘.

Физ. Смысл - мгновенная скорость равна производной от пути в данный момент времени. V(t)=S’(t)

 

ГЕОМЕТРИЧ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Угловой коэффициент касательной к графику ф-и у=f(x) в точке х(0) равен производной этой ф-и в токе х(0)

 

ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ Ф-И

(х(п))’ = п х(п-1)

 

ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ (РАЗНОСТИ) ФУНКЦИЙ

( f(x)+-g(x))’=f’(x)+-g’(x)

 

ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

(f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)

 

ПРОИЗОДНАЯ ЧАСТНОГО

(f(x)/g(x))’=f’(x)*g(x)-f(x)*g’(x)/g(2)(x)

 

ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ Ф-И

х)' = ех.

(е (и))’ =e(u)* U’

ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ Ф-И

(lnx)’ =1/x

(lnU)’=U’/U

(log (a)x)’=1*xln(a)

a(x)’=a(x)*ln a

a(u)’= a(u)* Ln a*U’

(log(a)U)’=U’/U*ln a

 

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ Ф-И

Функция у является функцией от переменной U, а ф-я U явл ф-ей от переменной х, тогда ф-я у=f(g(x)) – сложная ф-я.

У=f(U)

E’=f’(U)*U’

 

ПРОИЗВОДНАЯ SINX

(sinx)’= cosx

(sinU)’=U’*cosU

 

ПРОИЗВОДНАЯ COSX

(cosx)’= -sinx

(cos U)’=- U’*sin U

ПРОИЗВОДНАЯ TG X И CTG X

(tg x)’=1/cos(2)x

(ctg x)’= -1/sin (2)x

(tg U)’= U’/cos(2)U

(ctg U)’= -U’/sin(2)U

 

ПРИЗНАКИ ПОСТОЯНСТВА, ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ Ф-И. ИССЛЕДОВАНИЕ Ф-И НА МОНОТОННОСТЬ

Монотонность – возрастание и убывание ф-и. Используя производную можно находить промежутки возрастания и убывания ф-и.

Признаки:

1. если внутри некоторого открытого промежутка выполняется неравенство f’(x)>0, то ф-я у=f(x) возрастает на этом промежутке. 2. если внутри некоторого открытого промежутка выполняется неравенство f’(x)<0, то ф-я у=f(x) убывает на этом промежутке. 3 если внутри некоторого открытого промежутка выполняется неравенство f’(x)=0, то ф-я у=f(x) постоянна на этом промежутке.

 

ЭКСТРЕМУМ Ф-И. ИССЛЕДОВАНИЕ Ф-И НА ЭКСТРЕМУМ.

Экстремум – точки максимума и минимума ф-и. Если f(x)>f(x(0)), то это точка минимума. Если f(x)<f(x(0)) – то это точка максимума.

Для нахождения точек экстремума нужно использовать необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Точки, в которых производная равна 0 наз стационарными. Точки в кторых производ не сущ наз критическими.

Алгоритм исследования ф-и на монотонность и экстремумы

1. нйти производную 2. найти стационарные и критические точки(прировнять к 0). 3 отметить точки на числовой прямой и определить знаки производной на промежуках. 4 сделать вывод.

 

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМ ЗНАЧ Ф-И НА ПРОМЕЖУТКЕ

Если при переходе через точку х(0) (слева направо) производная меняет знак с – на +, то х(0) – это точки мin.

Если при переходе через точку х(0) (слева направо) производная меняет знак с + на -, то х(0) – это точки max.

 

ОБЩАЯ СХЕМА ИСЛЕДОВАНИЯ Ф-И С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

1. найти обл опред. 2 исследоват ф-ю на четность/нечетнойсть. 3 найти точки пересечения с осями(если взможно). 4 найти асимптоты 9прямая, к которой точка приближается. Но не пересекает). 5 исследовать на монотонность и экстремум. 7 найти доп.точки для уточнения графика.

 

ПЕРВООБРАЗНАЯ. ОСНОВНОЕ СВ-ВО ПЕРВООБРАЗНОЙ

Первообразная – ф-я, восстанавливаемая по знач ее производной.

Если у=f(x) – это ф-я, то у=F(х) – ее первообразная.

Функцию у= F(х) наз первообразной для ф-и y=f(x) на заданном промежутке х, если для всех х из х выполняется равенство F’(x)=f(x).

Св-во: если у=F(x) – первообразня для ф-и у=f(x) на промежутке х, то у функции у=f(x) бесконечно много первообразных и все они имеют вид y= F(x)+C, С – любое число.

 

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЛ И ЕГО СВ-ВА

Неопределенный интеграл – множество всех первообразных.

Св-ва:

1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов этих ф-й / (f(x)+g(x))dx= /f(x)dx+ /g(x)dx.2 постоянный множитель можно вынести за знак интеграла /k f(x)dx= k /f(x)dx. 3 если /f(x)dx=F(x)+C, то /f(kx+m)dx = F(kx+m)/k+ C

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕРГРАЛЛ И ЕГО СВ-ВА

Определенный интеграл – предел суммы очень маленьких величин.

Формула_________

Св-ва:

1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов этих ф-й (подставить знач интеграла а и в!!!!)/ (f(x)+g(x))dx= /f(x)dx+ /g(x)dx.2 постоянный множитель можно вынести за знак интеграла /k f(x)dx= k /f(x)dx. 3 если a<c<в, то (!!!) (ca)/f(x)dx+(cb)/f(x)dx=(ba)f(x)dx

 

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Например нам дана криволинейная трапеция. Надо найти площадь этой трапеции. Решение: разобъем отрезок [а;в] на п частей точками х1, х2,х3. х (п-1). Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу ф-и у=f(x) на отрезке [a;b]

S= (ba) /f(x)dx

 

 

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕСТВИЯ ИЗ НИХ

Аксиомы стереометрии - предложение, принимаемое без доказательств.

Аксиомы:

1. через любые 3 точки не лежащие на 1 прямой, проходит плоскость, и притом только 1.2. если 2 точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

 

 

3. если 2 прямые имеют 1 общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

 

Следствия.

1. через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только 1. (дано: а –прямая, т.А не принадлеж а. доказать плоскость сущ и единственная. Док-во. Возьмемт. В и С, В=/С, А не принадл плоскости, след. А, В, С – не лежат на 1 прямой, след. По аксиоме 1 через них проходит плоскость и притом только 1).

 

2.через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только 1

 

 

3. через 2 параллельные прямые проходит плоскость, и притом только 1.

 

 

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРНСТВЕ. ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯПРЯМЫХ

Две прямые наз скрещивающимися, если они не лежат в 1 плоскости.

Признак: если 1 из 2х прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

расположение

1. прямые пересекаются, т.е. имеют 1 общую точку.

 

2. прямее параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются

 

3. прямые скрещиваются, т.е. лежат в оной плоскости.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...