 |
Обратные тригонометрические ф-и
|
|
|
|
Если /a/<- 1, то arccos а это такое число из отрезка [0;П], косинус которого равен а.
Arccos a=t ó cost=a, 0<-t<-П, arcos(-a) =П- arccos a,
Cost=a, t= +-arccos +2Пк, к э z
Если /а/<-1, то arcsin а это такое число из отрезка [-П/2;П/2], синус которого равен а.
Arcsin a=t ó sint=a, -П/2<-t<-П/2. arcsin (-a)= - arcsin a
T= (-1)(n) arcsin a+Пп, п э Z
Arctg а это такое число из интервала (-П/2; П/2), тангенс которого равен а.
Arctg a =x ótg x=a, -П/2<x<П/2., arctg(-a) = -arctg a
Х= arctg a+Пк, к э Z
Arcctg а это такое число из интервала (0;П), котангенс которого равен а.
Arcctg a =x ó ctgx=a, 0<x<П, arcctg (-a)= П-arcctg a
X= arcctg a +Пк, к э Z
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Тригонометрическими у-ми наз Ур-я, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических ф-й.
Cosx=a, x= +-arccos a +2Пп, п э Z
Cos x=0, x= П/2+Пп, п э Z
Cos x=1, х= 2Пп, п э Z
Сos x = -1, x= П+2Пп, п э Z
Sin x = a, x= (-1)(n)*arcsin a +Пп, п э Z
Sin x=0, x=пп, п э Z
Sin x = 1, х = П/2+2Пп, п э Z
Sin x = -1, x= -П/2+2Пп, п э Z
Tg x = a, x= arctg a +Пп, п э z
Ctgx=a, x= arcctg a+Пп, п э Z
К простейшим Ур-ям так же относят Ур-я, в которых под знаком тригонометрической ф-и записвны выражения вида кх+м. для решения таких Ур-й предлагается заменить выражение, стоящее под знаком тригонометрической ф-и переменной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИВОДНОЙ. ФИЗ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Производная – предел отношения приращения ф-и к приращению аргумкнта, когда приращение аргумента стремится к о.
Производная обозначается ‘.
Физ. Смысл - мгновенная скорость равна производной от пути в данный момент времени. V(t)=S’(t)
ГЕОМЕТРИЧ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Угловой коэффициент касательной к графику ф-и у=f(x) в точке х(0) равен производной этой ф-и в токе х(0)
ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ Ф-И
(х(п))’ = п х(п-1)
ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ (РАЗНОСТИ) ФУНКЦИЙ
|
|
|
( f(x)+-g(x))’=f’(x)+-g’(x)
ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
(f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
ПРОИЗОДНАЯ ЧАСТНОГО
(f(x)/g(x))’=f’(x)*g(x)-f(x)*g’(x)/g(2)(x)
ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ Ф-И
(ех)' = ех.
(е (и))’ =e(u)* U’
ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ Ф-И
(lnx)’ =1/x
(lnU)’=U’/U
(log (a)x)’=1*xln(a)
a(x)’=a(x)*ln a
a(u)’= a(u)* Ln a*U’
(log(a)U)’=U’/U*ln a
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ Ф-И
Функция у является функцией от переменной U, а ф-я U явл ф-ей от переменной х, тогда ф-я у=f(g(x)) – сложная ф-я.
У=f(U)
E’=f’(U)*U’
ПРОИЗВОДНАЯ SINX
(sinx)’= cosx
(sinU)’=U’*cosU
ПРОИЗВОДНАЯ COSX
(cosx)’= -sinx
(cos U)’=- U’*sin U
ПРОИЗВОДНАЯ TG X И CTG X
(tg x)’=1/cos(2)x
(ctg x)’= -1/sin (2)x
(tg U)’= U’/cos(2)U
(ctg U)’= -U’/sin(2)U
ПРИЗНАКИ ПОСТОЯНСТВА, ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ Ф-И. ИССЛЕДОВАНИЕ Ф-И НА МОНОТОННОСТЬ
Монотонность – возрастание и убывание ф-и. Используя производную можно находить промежутки возрастания и убывания ф-и.
Признаки:
1. если внутри некоторого открытого промежутка выполняется неравенство f’(x)>0, то ф-я у=f(x) возрастает на этом промежутке. 2. если внутри некоторого открытого промежутка выполняется неравенство f’(x)<0, то ф-я у=f(x) убывает на этом промежутке. 3 если внутри некоторого открытого промежутка выполняется неравенство f’(x)=0, то ф-я у=f(x) постоянна на этом промежутке.
ЭКСТРЕМУМ Ф-И. ИССЛЕДОВАНИЕ Ф-И НА ЭКСТРЕМУМ.
Экстремум – точки максимума и минимума ф-и. Если f(x)>f(x(0)), то это точка минимума. Если f(x)<f(x(0)) – то это точка максимума.
Для нахождения точек экстремума нужно использовать необходимые и достаточные условия существования экстремума.
Точки, в которых производная равна 0 наз стационарными. Точки в кторых производ не сущ наз критическими.
Алгоритм исследования ф-и на монотонность и экстремумы
1. нйти производную 2. найти стационарные и критические точки(прировнять к 0). 3 отметить точки на числовой прямой и определить знаки производной на промежуках. 4 сделать вывод.
|
|
|
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМ ЗНАЧ Ф-И НА ПРОМЕЖУТКЕ
Если при переходе через точку х(0) (слева направо) производная меняет знак с – на +, то х(0) – это точки мin.
Если при переходе через точку х(0) (слева направо) производная меняет знак с + на -, то х(0) – это точки max.
ОБЩАЯ СХЕМА ИСЛЕДОВАНИЯ Ф-И С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
1. найти обл опред. 2 исследоват ф-ю на четность/нечетнойсть. 3 найти точки пересечения с осями(если взможно). 4 найти асимптоты 9прямая, к которой точка приближается. Но не пересекает). 5 исследовать на монотонность и экстремум. 7 найти доп.точки для уточнения графика.
ПЕРВООБРАЗНАЯ. ОСНОВНОЕ СВ-ВО ПЕРВООБРАЗНОЙ
Первообразная – ф-я, восстанавливаемая по знач ее производной.
Если у=f(x) – это ф-я, то у=F(х) – ее первообразная.
Функцию у= F(х) наз первообразной для ф-и y=f(x) на заданном промежутке х, если для всех х из х выполняется равенство F’(x)=f(x).
Св-во: если у=F(x) – первообразня для ф-и у=f(x) на промежутке х, то у функции у=f(x) бесконечно много первообразных и все они имеют вид y= F(x)+C, С – любое число.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЛ И ЕГО СВ-ВА
Неопределенный интеграл – множество всех первообразных.
Св-ва:
1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов этих ф-й / (f(x)+g(x))dx= /f(x)dx+ /g(x)dx.2 постоянный множитель можно вынести за знак интеграла /k f(x)dx= k /f(x)dx. 3 если /f(x)dx=F(x)+C, то /f(kx+m)dx = F(kx+m)/k+ C
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕРГРАЛЛ И ЕГО СВ-ВА
Определенный интеграл – предел суммы очень маленьких величин.
Формула_________
Св-ва:
1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов этих ф-й (подставить знач интеграла а и в!!!!)/ (f(x)+g(x))dx= /f(x)dx+ /g(x)dx.2 постоянный множитель можно вынести за знак интеграла /k f(x)dx= k /f(x)dx. 3 если a<c<в, то (!!!) (ca)/f(x)dx+(cb)/f(x)dx=(ba)f(x)dx
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
Например нам дана криволинейная трапеция. Надо найти площадь этой трапеции. Решение: разобъем отрезок [а;в] на п частей точками х1, х2,х3. х (п-1). Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу ф-и у=f(x) на отрезке [a;b]
S= (ba) /f(x)dx
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕСТВИЯ ИЗ НИХ
Аксиомы стереометрии - предложение, принимаемое без доказательств.
Аксиомы:
1. через любые 3 точки не лежащие на 1 прямой, проходит плоскость, и притом только 1.2. если 2 точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
|
|
|
3. если 2 прямые имеют 1 общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Следствия.
1. через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только 1. (дано: а –прямая, т.А не принадлеж а. доказать плоскость сущ и единственная. Док-во. Возьмемт. В и С, В=/С, А не принадл плоскости, след. А, В, С – не лежат на 1 прямой, след. По аксиоме 1 через них проходит плоскость и притом только 1).
2.через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только 1
3. через 2 параллельные прямые проходит плоскость, и притом только 1.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРНСТВЕ. ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯПРЯМЫХ
Две прямые наз скрещивающимися, если они не лежат в 1 плоскости.
Признак: если 1 из 2х прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
расположение
1. прямые пересекаются, т.е. имеют 1 общую точку.
2. прямее параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются
3. прямые скрещиваются, т.е. лежат в оной плоскости.
|
|
|
