 |
Кинематика точки (задача К1)
|
|
|
|
4.1 Условие задачи К1
По заданным уравнениям движения точки 
и 
, заданным в таблице 6, найти и построить на рисунке в масштабе:
– траекторию движения точки;
– положение точки Мо в начальный момент времени 
= 0;
– положение точки М1 в заданный момент времени 
, с;
– скорость и ускорение точек Мо и М1 в начальный и заданный моменты времени;
– касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории для точек Мо и М1.
4.2 Пример решения задачи К1
Движение точки задано координатным способом уравнениями:
x = 2 sin (
t) + 3; y = 4 cos ( t). (4.1)
Для момента времени t = 1c определить кинематические параметры ее движения в соответствии с условием задачи К1.
Решение
Уравнения движения являются одновременно уравнениями траектории точки в параметрической форме. Для получения уравнения траектории из уравнений движения необходимо исключить параметр t:
sin ( t) = 
; cos ( t) = 
.
Если обе части каждого равенства возвести в квадрат и сложить левые и правые части, то получим уравнение эллипса:
+ 
= 1. (4.2)
Полуоси эллипса: горизонтальная 
= 2 м, вертикальная b = 4 м, координаты его центра 
= 3 м; 
= 0.
Траекторию точки строим в масштабе на рисунке (рис. 73).
Для определения положения точки на траектории в уравнения ее координат подставляем соответствующее время.
В начальный момент времени при t = 0 из уравнений (4.1) получим:
= 3 м, 
= 4 м.
В заданный момент времени при = 1 c из этих уравнений найдем:
= 2 sin 
+ 3 = 4,4 м; 
= 4 cos 
= 2,8 м.
Положения точек Мо и М1 показываем на траектории (рис. 73).
Скорость и ускорение точки найдем по их проекциям на оси координат: 
; 
; (4.3)
; 
. (4.4)
Тогда в начальный момент времени при t = 0 получим:
м/с; 
;
= 1,57 м/с;
; 
м/ 
;
.
В заданный момент времени при 
:
|
|
|
; 
;
;
; 
;
.
Выбираем масштаб скорости и ускорения и строим векторы скорости и ускорения и их проекции для точек Мо и М1 (рис. 73). Величину выбранного масштаба необходимо указать на рисунке.
Определим касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны ее траектории.
При движении точки по криволинейной траектории ускорение точки можно выразить через проекции на естественные оси: касательную и нормаль: 
,
где 
– касательное ускорение точки: 
; (4.5)
– нормальное ускорение: 
; (4.6)
– радиус кривизны траектории.
Нормальное ускорение можно вычислить, зная полное ускорение точки и его касательную составляющую: 
. (4.7)
Подставляем в формулы (4.50), (4.51), (4.52) значения величин, найденных для соответствующих моментов времени. В начальный момент времени при 
:
; 
; 
В заданный момент времени при 
:
; 
 |
Рисунок 73 – Схема к решению задачи К1
Таблица 1 – Исходные данные к задаче К1
| Номер варианта | Уравнения движения точки, м | Заданный момент времени, с | |
x = 
| y =
| ||
х = 4cos  +3
| у = 5sin 
| ||
| х = 3sin
| у = 4cos 
| ||
| х = 6sin
| у = 2cos(
| ||
х = 4cos (
| у = 2sin 
| ||
х = 4cos 
| у = 3sin(
| ||
х = 4sin(
| у = 2cos  t)
|
Продолжение таблицы 1
х = 5-2cos 
| у = 3sin( -1
| ||||
| х = sin(
| у = 2cos -3
| ||||
| х = 3cos
| у = 2sin 
| ||||
х = 2sin 
| у = 4cos(
| ||||
х = 4sin(
| у = 5cos 
| ||||
х = 5sin(
| у = 2cos(
| ||||
х = 3sin(
| у = 6cos 
| ||||
х = 3cos(
| у = 2 – 4sin
| ||||
х = sin(
| у = 2cos 
| ||||
х = sin 
| у = 4cos( )+2
| ||||
| х = 2cos(
| у = 5sin(
| ||||
| х = 5cos(
| у = 3sin
| ||||
х = 2sin 
| у = 4cos
| ||||
х = 4cos 
| у = 6sin
| ||||
х = 2cos 
| у = 5sin 
| ||||
| х = 6sin(
| у = 4cos
| ||||
х = 5cos(
| у = 7sin
| ||||
х = 3sin(
| у = 5cos
| ||||
| х = 4+2sin
| у = 5cos
| ||||
| х = 7sin
| у = 4cos
| ||||
х = 3sin( )+3
| у = 2cos() – 1
| ||||
Продолжение таблицы 1
| х = -2cos(
| у = 4sin
| ||
| х = 2sin +3
| у = 4cos - 2
| ||
| х = 2cos - 2
| у = 4sin + 3
|
|
|
|
В выбранном масштабе ускорений показываем проекции ускорения точек Мо и М1 на естественные оси координат (рис. 73), что позволяет осуществить проверку решения.
На графике необходимо соблюсти условия:
.
|
|
|
