 |
Какая здесь допущена ошибка?
|
|
|
|
18. Б.Рассел предложил следующий популярный вариант открытого им парадокса математической теории множеств.
Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера этой деревни: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, не должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.
Может ли существовать такой парикмахер?
Существует ли таксист, который возит всех тех и только тех, кто не ездит на автомобиле сам?
Можно ли создать робота, который ремонтировал бы те и только те роботы, которые не ремонтируют себя сами? Кто ремонтировал бы этого робота?
Тема 6. Логика высказываний.
1. Основные принципы логики высказываний. Логика высказываний как совокупность формул (тавтологии, противоречия, нейтральные формулы). Определение логического следования.
2. Табличные определения основных логических связок.
3. Понятие разрешающей процедуры. Правила приведения к нормальной форме.
4. Применение логики высказываний в релейно-контактных схемах.
Литература
Ивин А.А., Никифоров А.Л. Словарь по логике. М., 1998.
Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. М., 1991.
Гжегочик А. Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений. М., 1979.
Зегет В. Элементарная логика. М., 1985.
Ивин А.А. Логика. М., 2000.
Жоль К.К. Логика в лицах и символах. Научно-популярная книга. М., 1993.
|
|
|
Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика как часть теории познания и научной методологии (фундаментальный курс). В 2-х книгах. М., 1994. Книга 1.
Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. М., 1995. (Глава «Исчисление высказываний»).
Упражнения
1. Определите значение истинности следующих высказываний:
Луна – планета и 2 + 3 = 5.
Луна – планета или 2 + 3 = 5.
1 – простое число и 2 – простое число.
1 – простое число или 2 – простое число.
Кислород – металл и 2 ´ 2 = 5.
Кислород – металл или 2 ´ 2 = 5.
Эйфелева башня находится в Париже или она находится в Нью-Йорке.
Либо Эйфелева башня находится в Париже, либо она в Нью-Йорке.
Лев Толстой написал роман «Воскресение» или он написал роман «Анна Каренина».
Либо Лев Толстой написал «Воскресение», либо он написал «Анну Каренину».
Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе.
Если Солнце всходит на юге, то оно заходит на западе.
Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на севере.
Если Москва - большой город, то Солнце заходит на юге.
Если Москва – большой город, то Солнце заходит на западе.
Если 2 ´ 2 = 5, то Нью-Йорк – маленький город.
Если 2 ´ 2 = 5, то Нью-Йорк – большой город.
2. Придумайте по три примера:
Истинной импликации с истинным антецедентом (основанием импликации).
Истинной импликации с ложным антецедентом.
Ложной импликации.
3. Сформулируйте в виде импликаций следующие предложения:
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
Всякий человек должен быть откровенен на исповеди.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Все новое – только хорошо забытое старое.
4. Пусть а есть высказывание «9 – четное число» и b – высказывание «9 – нечетное число». Определите значения истинности следующих высказываний:
а) a ® b, д) ~ a ® ~ b, и) ~ a «~ b,
б) b ® a, е) ~ b ® a, к) ~ a «b,
в) a ® ~ b, ж) ~ b ® ~ a, л) a «~ b,
г) ~ a ® b, з) a «b, м) ~ (a ® b),
н) ~ (a «b),
о) ~ (~ a ® b),
п) ~ (a ® ~ b),
|
|
|
р) ~ (~ a ® ~ b).
5. Используя таблицы истинности для логических связок, определите истинностное значение приведенных сложных высказываний, предполагая, что а – истинное высказывание.
а) a Ú a, е) a Ù ~ a,
б) a Ù a, ж) ~ (a ®a),
в) a ® a, з) ~ (a Ú ~ a),
г) a «a, и) ~ (a Ù ~ a),
д) a Ú ~ a, к) a ® ~ ~ a.
6. Пусть а – истинное высказывание, b – ложное высказывание. Определите истинностное значение следующих сложных высказываний:
а) (a Ú b) ® a, г) a ® (a Ú b),
б) (a Ù b) ® a, д) (a ® b) ® a,
в) a ® (a Ù b), е) a ® (b ® a).
7. Определите с помощью таблиц истинности, какие из приведенных формул являются тавтологиями:
а) (a Ú b) «(b Ú a), з) (a ® b) «~ (a Ù ~ b),
б) (a Ù b) «(b Ù a), и) (a Ú b) «(~ a ® b),
в) (a ® b) ® (b ® a), к) (a Ú b) «~ (~ a Ù ~ b),
г) (a ® b) Ù ~ b ® ~ a, л) (a Ù b) «~ (~ a Ú ~ b),
д) (~ a ® ~ b) ® (b ® a), м) (a Ù b) «~ (a ® ~b),
е) (a ® b) Ù a ® b, н) (a ® b) Ù (b ® a) «(a «b).
ж) (a ® b) «(~ a Ú b),
8. Определите, какие из приведенных высказываний являются тавтологиями:
Если Иванов здоров, то он здоров и богат.
Если Иванов здоров, то он здоров или богат.
Если Иванов здоров и богат, то он здоров.
Если Иванов здоров или богат, то он здоров.
Неверно, что число делится на 2 и на 3, только если оно не делится на 2 или не делится на 3.
Неверно, что число является простым или четным, если и только если оно не является простым и не является четным.
9. «Два племени».
На острове живут два племени; молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил туземца, спросил его, кто он такой, и, когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в услужение. Они пошли и увидели вдали другого туземца, и путешественник послал своего слугу спросить его, к какому племени он принадлежит. Слуга вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Спрашивается, был ли слуга молодцом или же лгуном.
10. «Турист».
Турист шел к озеру. Он дошел до перекрестка, откуда одна дорога вела вправо, а другая влево; одна шла к озеру, а другая – нет. На перекрестке сидело двое парней, один из них всегда говорил правду, второй всегда лгал. Оба они отвечали на любой вопрос, либо «да», либо «нет». Все это было туристу известно, но он не знал, кто из них говорит правду, кто лжет; он также не знал, какая из дорог ведет к озеру. Тогда он поставил обоим сразу один вопрос, каждый из них дал на него свой ответ. Спрашивается, какой это был вопрос, раз турист по полученным ответам безошибочно решил, какая из дорог ведет к озеру?
|
|
|
Тема 7. Логика предикатов
1. Логика предикатов как расширенный вариант логики высказываний. Язык логики предикатов первой ступени.
2. Правильно построенная формула в логике предикатов: термы и формулы.
3. Правила вывода в логике предикатов.
Литература
Ивин А.А., Никифоров А.Л. Словарь по логике. М., 1998.
Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. М., 1991.
Зегет В. Элементарная логика. М., 1985.
Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М., 1997.
Жоль К.К. Логика в лицах и символах. Научно-популярная книга. М., 1993.
Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика как часть теории познания и научной методологии (фундаментальный курс). В 2-х книгах. М., 1994. Книга 1.
Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. М., 1995. (Глава «Исчисление предикатов»).
Упражнения
1. Выразите следующие высказывания на языке логики предикатов:
Все члены нашей команды обладают хорошими волевыми качествами.
Некоторые выдающиеся писатели были талантливыми музыкантами.
Все утки при ходьбе переваливаются с боку на бок.
То, что трудно, требует особого внимания.
Ни одно жирное животное не может бегать быстро.
Существует книга, которую некоторые не читали.
Ни один старый скряга не жизнерадостен.
Положения, противоречащие аксиомам, исключаются из научной теории.
2. Сформулируйте разговорным языком предложения, соответствующие следующим формулам, заменив в них P, Q, R соответственно терминами «князь», «княжество», «владелец»:
"x (Q(x) ® $y (P(y) Ù R(y,x))).
$x $y (P(x) Ù Q(x)) Ù ~ R (x,y).
~ х (P(x) ® "y (R(x,y) ® Q(x))).
3. Используя правила выводов логики предикатов, приведите высказывания, которые являются отрицанием следующих:
Существует наибольшее простое число. Некоторые практические занятия не являются формой самостоятельной работы студентов. Существуют четные или нечетные числа. Ни одна гипотеза, выдвигаемая студентами при написании курсовых работ, не имеет теоретической значимости. Если кто-то из друзей попал в беду, все остальные спешили его выручить.
|
|
|
4. В каких из приведенных ниже умозаключений выполняются правила выводов логики предикатов?
Каждый человек является разумным существом. Следовательно, каждое разумное существо является человеком.
Все люди, и только они, являются разумными существами. Следовательно, все разумные существа являются людьми.
Существуют люди, добросовестно относящиеся к своему делу. Следовательно, неверно, что каждый человек добросовестно относится к своему делу.
Всякий, кто работает в этом учреждении, работает на совесть. Следовательно, всякий, кто не работает на совесть, не работает в этом учреждении или работает в другом учреждении.
Некоторые философы - веселы. Некоторые философы – обладают бородой. Следовательно, некоторые бородатые философы – веселые люди.
Дополнительная литература для любознательных студентов, заинтересованных в продолжении знакомства с математической логикой.
Айер А.Д. Язык, истина и логика // Аналитическая философия: Избранные тексты. М., 1993.
Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1978. Т.2.
Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М., 1965.
Бирюков Б.В., Тростников В.Н. Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики. М., 1977.
Васильев Н.А. Воображаемая логика. М., 1989.
Витгенштейн Л. Философские исследования: Логико-философский трактат // Философские работы. М., 1994. Ч.1.
Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики // Философские работы. М., 1994. Ч.11.
Вригт Г.Х. фон. Логико-философские исследования. Избранные труды. М., 1986.
Вригт Г.Х. фон. Логика и философия в ХХ веке // Вопросы философии, 1992, №8.
Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965.
Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
Гуссерль Э. Логические исследования // Гуссерль Э. Философия как строгая наука. Новочеркасск, 1994.
Делез Ж. Логика смысла. М., 1995.
Калужнин Л.А. Что такое математическая логика. М., 1964.
Карри З.Б. Основания математической логики. М., 1969.
Клини С.К. Математическая логика. М, 1973.
Клайн М. Математика: утрата определенности. М., 1984.
Коста да Н. Философское значение паранепротиворечивой логики // Философские науки.
1982, №4.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.
Людвиг Витгенштейн: человек и мыслитель. М., 1993.
Маковельский А.С. История логики. М., 1967.
Петер Р. Игра с бесконечностью. М., 1967.
Ракитов А.И. Анатомия научного знания (популярное введение в логику и методологию науки). М., 1969.
|
|
|
Рузавин Г.И. Научная теория: логико-методологический анализ. М., 1978.
Рузавин Г.И. Методологические проблемы аргументации // Вопросы философии, 1994, №12.
Семиотика. М., 1983.
Смирнова Е.Д. Логика и философия // Вопросы философии, 2000, №12.
Современная западная философия. Словарь. М., 1998.
Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М., 1967.
Фейс Р. Модальная логика. М., 1974.
Философия. Логика. Язык. М., 1987.
Фреге Г. Избранные работы. М., 1997.
Френкель А, Бар-Хиллел Й. Основания теории множеств. М., 1966.
Хилл Т.И. Современные теории познания. М., 1965.
Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960.
Щедровицкий Г.П. Избранные труды. М., 1995.
|
|
|
