Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Примеры выполнения заданий типового расчета

З а д а н и е 1. Заданы координаты точек в полярной системе координат: : 1) построить точки в ПСК; 2) найти координаты данных точек в ДПСК.

Решение.

1) Сначала надо задать ПСК, используя определение 4. Для этого необходимо произвести следующее:

– отметить на плоскости точку О – начало координат (полюс);

– провести через точку О луч ОР (полярная ось);

– от полюса в направлении полярной оси отложить произвольной длины отрезок (принять его за единицу масштаба).

Чтобы изобразить в заданной ПСК точку , проводим через полюс О луч (полуось) под углом к полярной оси ОР (или повернем полярную ось на угол вокруг точки О против часовой стрелки – замечание 2, подразд. 1.2). Затем отложим на полученном луче от точки О отрезок длиной (две единицы выбранного масштаба). Его конец – искомая точка.

Для построения точки надо провести луч под углом к полярной оси ОР (или повернуть полярную ось на угол вокруг точки О по часовой стрелке) и отложить на нем от точки О отрезок длиной (три единицы масштаба). Его конец – точка .

Для построения точки нужно провести луч , составляющий с полярной осью угол или, что то же, – главное значение угла (замечание 3, подразд. 1.2) и отложить на нем от полюса 3/2 единицы масштаба. Все три заданные точки построены на рис. 10.

2) Выполним вторую часть задания. Найдем прямоугольные декартовы координаты точек. Необходимо воспользоваться формулами (1). Подставляя вместо координаты точки получим:

Итак, в ДПСК координаты точки . Аналогично получим координаты точек (рис.11).

Если совместить изображенные в ДПСК и ПСК точки так, чтобы начало координат ДПСК совпало с полюсом ПСК, а направление полярной оси ОР – с направлением оси Ох, то отмеченные точки должны совпасть.

З а д а н и е 2. Заданы координаты точек в ДПСК: . 1) Найти полярные координаты данных точек; 2) построить точки в ПСК и ДПСК, совместив эти системы координат.

Решение.

1) Для нахождения полярных координат заданных точек воспользуемся формулами (2) и (3).

Для точки имеем: , тогда . Так как , то . Таким образом, в ПСК .

Для точки имеем: , тогда . Так как , то Таким образом, в ПСК

Для точки : . Так как , то . Итак, в ПСК

2) Совместим ПСК с ДПСК и построим точки с заданными и полученными координатами (рис.12). Построение точек в ПСК рассмотрено в задании 1.

З а д а н и е 3. Даны уравнения кривых в ДПСК: . Получить уравнения кривых в ПСК и построить в ПСК: а) ; б)

Решение.

а) Определим тип кривой: – это окружность с центром в начале координат и радиусом (см. табл. 1). В ПСК уравнение примет вид: , так как При любом значении полярного угла полярный радиус постоянный и равен (рис.13).

б) Определим тип кривой: – это окружность со смещенным центром (см. табл. 1). Выделяя квадрат в левой части равенства, получим каноническое уравнение: ; . Координаты центра О (0; −3), радиус R = 3. Формулы (2) позволяют найти уравнение этой окружности в ПСК: . Это уравнение распадается на два: и . Первое уравнение при любом представляет полюс – точку О. Второе уравнение дает все точки окружности (в том числе полюс), поэтому первое уравнение можно опустить. Строим кривую в ПСК.

Воспользуемся правилом построения кривых в ПСК (подразд. 2.6).

1. Решаем неравенство: воспользуемся данными табл. 5:

2. Выбираем значения полярного угла из промежутка : при .

3. Составим таблицу значений и :

4. Строим точки с найденными координатами Построение точек в ПСК было рассмотрено в задании 1.

5. Соединим точки плавной линией, получим изображение окружности радиусом R = 3 (рис.14).

З а д а н и е 4. Даны уравнения кривых в ПСК: Построить кривую в ПСК и получить ее уравнение в ДПСК: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Определим тип кривой: – спираль Архимеда (подразд. 2.2).

Воспользуемся правилом построения кривых в ПСК (подразд. 2.6).

1. Найдем пределы изменения полярного угла, решая неравенство . Тогда

2. Выберем главное значение угла . Поскольку – функция не периодическая, то , с учетом имеем

3. Составим таблицу значений и Будем придавать значения полярному углу через промежуток (выбран произвольно).

Например, при ;

при ;

при .

Полученные значения записываем в таблицу:

					…
					…

4. По таблице строим точки с найденными полярными координатами :

5. Соединим построенные точки плавной линией, получим изображение спирали Архимеда (рис.15).

Запишем уравнение в ДПСК, используя формулы (2) и (3):

б) Определим тип кривой: – окружность со смещенным цент-ром и радиусом R = 4/2 = 2 (см. табл. 1).

Воспользуемся правилом построения кривых в ПСК (подразд. 2.6).

1. Найдем пределы изменения полярного угла, решая неравенство . Тогда (см. табл. 5)

2. Функция периодическая. Таким образом, выберем значения углов из промежутка при

3. Составим таблицу значений и

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки плавной линией, получим изображение окружности радиусом R = 2 (рис.16).

Замечание: построение графика можно провести другим способом. Так как функция четная, т. е. , при построении достаточно ограничиваться значениями , а затем отобразить график симметрично относительно полярной оси для углов .

Составим уравнение данной окружности в ДПСК. В силу формул (2) имеем: Приведем полученное уравнение к каноническому виду: – окружность со смещенным вдоль оси Ох центром (2; 0) и радиусом 2.

в) Определим тип кривой: – кардиоида (подразд. 2.3).

Строим заданную кривую.

1. Найдем пределы изменения полярного угла, решая неравенство . Тогда , (см. табл. 5).

2. Функция периодическая. Выберем значения полярных углов, т. е. или Удобнее взять промежуток

3. Составим таблицу значений и


				1,5		4,5


	4,5		1,5

При вычислении значений мы пользовались формулами приведения:

. Например: и т. д.

Можно вычислять значения на калькуляторе.

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки плавной линией, получим кардиоиду (рис.17).

Замечание: построение графика можно провести другим способом. Так как функция четная, т. е. , при построении достаточно ограничиваться значениями а затем отобразить график симметрично относительно полярной оси для углов

При переходе к ДПСК уравнение кардиоиды примет вид: умножим обе части ра-венства на получим или .

З а д а н и е 5. Даны уравнения кривых в ДПСК и ПСК. Построить кривые в ПСК: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

а) Определим тип кривой: − лемниската Бернулли (подразд. 2.5). Воспользуемся формулами (2), связывающими декартовы координаты с полярными координатами. Тогда уравнение заданной кривой можно записать в виде: или . , . Это уравнение распадается на два: и . Первое уравнение при любом представляет полюс – точку О. Второе уравнение: дает все точки кардиоиды (в том числе полюс), поэтому первое уравнение можно опустить. Используя формулу , получим: , или . Т. к. . Построим кривую, заданную уравнением: . Воспользуемся правилом построения кривых в ПСК (подразд. 2.6).

1. Функция определена при , что равносильно неравенству (см. табл. 5) или

2. Выбираем значения полярного угла:

при , при

3. Составим таблицу значений и , разбивая полученные в п. 2 отрезки на отрезки длиной

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки последовательно плавной линией, получим лемнискату Бернулли (рис. 18).

Замечание: данную кривую можно построить другими способами.

1) Поскольку − периодическая функция с периодом , то достаточно построить часть кривой при , а другую половину лемнискаты получить поворотом построенной части на угол

2) Можно учесть и тот факт, что − функция четная. Тогда при построении достаточно ограничиться значениями , а затем отобразить график симметрично относительно прямой, перпендикулярной полярной оси для углов .