 |
Математическое ожидание дискретного распределения
|
|
|
|
Испытания Бернулли
Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.
Формулировка
Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность 
того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: 
, где 
.
[Доказательство
Так как в результате 
независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие 
наступает с вероятностью 
, следовательно противоположное ему событие с вероятностью 
.
Обозначим 
— наступление события в испытании с номером 
. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает 
раз, тогда остальные 
раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из элементов по . Это количество сочетаний находится по формуле:
.
При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
.
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:
, где .
Схема испытаний Бернулли
Пусть один и тот же опыт повторяется п раз, испытания независимы, в результате каждого испытания может наступить или нет событие А. Пусть Р(А) = р — вероятность наступления А, тогда 
= q = 1 - р. Такая схема испытаний называется схемой Бернулли. Найдем вероятность 
того, что событие А произойдет при n испытаниях m раз.
|
|
|
Пространство элементарных событий состоит из произведений п событий А или 
Событие
В, состоящее в том, что событие А произойдет при п испытаниях т раз, включает те 
в которых А содержится 
раз, их 
По формуле (34.7) 
поэтому по (34.3)
Формула 
(34.10) называется формулой Бернулли.
Пример: Найти вероятность того, что четырехзначный номер первого встречного автомобиля содержит две цифры 5.
Так как 
= 4 (число цифр в номере), 
= 2, событие А — данная цифра номера 5, 
— не 5, Р(А) = 1/10, 
= 9/10, то
= 6 · 0,01· 0,81 = 0,0486
При больших значениях 
подсчет 
проводится по при-
ближенной формуле (локальная теорема Лапласа)
Если 
велико, а 
то применяют приближенную
формулу Пуассона:
6 5. Математическое ожидание дискретной величины, его свойства
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ [ mathematical expectation ]
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M (X) = x 1 p 1+ x 2 p 2+...+ xn pn.
Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M (X). Однако эту характеристику можно оценить. В качествеоценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M (X) ≈ `X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M (C) = C.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX) = CM (X).
3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M (X + Y + Z) = M (X)+ M (Y)+ M (Z).
4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M (X × Y × Z) = M (X)× M (Y)× M (Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.
|
|
|
Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через 
(например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — 
(возможно, отангл. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение 
Определение
Пусть задано вероятностное пространство 
и определённая на нём случайная величина 
. То есть, по определению, 
— измеримая функция. Если существуетинтеграл Лебега от по пространству 
, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .
Дискретные распределения
Определение 3. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть 
, где 
— разбиение .
Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: 
. Введя обозначение 
, можно задать функцию 
. Очевидно, что 
. Используя счётную аддитивность 
, легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение .
Определение 4. Функция , где часто называется дискретным распределением.
Пример 1. Пусть функция 
задана таким образом, что 
и 
. Эта функция задаёт распределение случайной величины такой, что 
(распределение Бернулли).
Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:
1. 
;
2. 
.
Математическое ожидание дискретного распределения
§ Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение
,
то прямо из определения интеграла Лебега следует, что
.
|
|
|
