Правильная запись и округление чисел

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если абсо­лютная погрешность этого числа не превосходит единицы разря­да, в котором стоит эта цифра.

Пример 3. а). Пусть а = 2,91385,?a = 0,0097.

?a?1 2

?a?0,1 9

?a?0,01 1

?a?0,001 3

В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

б). Возьмем в качестве приближения к числу? = 3,141592... чи­сло?' = 3,142. Тогда /?-?’/ < 0,001 =??', откуда следует, что в приближенном значении?' = 3,142 все цифры являются вер­ными.

в). Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разря­ды, начиная с восьмого, были опущены. Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель, однако, может быть уверен, что оно не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе раз­ряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.

Отметим, что первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные.

Если чис­ло записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, к примеру, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять? а = 0,001, т.е. а =16,784±0,001.

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Можно сказать короче: значащими цифрами числа являются все цифры в его правильной записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 4. 0,2409 — четыре значащие цифры; 24,09 — четыре значащие цифры; 100,700 — шесть значащих цифр.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т. е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр.

При округлении возникает погрешность, называемая погреш­ностью округления. Пусть x– данное число, а x ₁ – результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

Например, если выполнить на 8-разрядном МК действие 1:6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматиче­ское округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до коли­чества разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять?_окр = 0,7 *10^-7.

Рассмотренный случай «принудительного» округления назы­вают округлением методом отбрасывания. Очевидно, что сам по себе метод отбрасывания оставляет все сохраняемые цифры ок­ругленного числа верными.

Если вычисления ведутся с точностью меньшей, чем машин­ная точность, целесообразнее пользоваться способом симметри­ческого округления, который приводит к меньшей величине ок­ругления, чем способ отбрасывания. Симметрическое округление выполняется по следующим правилам:

если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохра­няемые десятичные знаки остаются без изменения;

если первая слева из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Из правил симметрического округления следует, что его по­грешность не превышает половины единицы последнего сохраня­емого разряда. Это обстоятельство позволяет вести счет с точнос­тью большей, чем единица последнего сохраняемого разряда. По этой причине наряду с понятием «верная цифра в широком смыс­ле», соответствующем методике округления путем отбрасывания, используется понятие «цифра, верная в строгом смысле», приме­няемое в вычислениях с симметрическим округлением.

Отметим, что погрешности принято записывать с одной зна­чащей цифрой (редко — с двумя). Кроме того, при округлении погрешности обычные правила округления неприменимы: погреш­ности, по понятной причине, всегда округляют с завышением (как это и делается в данной книге).

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсо­лютная погрешность этого числа не превосходит половины еди­ницы разряда, в котором стоит эта цифра.

Абсолютная погрешность числа x₁, получаемого в результате округления приближенного значения х, складывается из абсо­лютной погрешности первоначального числа х (являющегося при­ближением точного значения X)и погрешности округления. Если в результате округления приближенного числа x получено значение х ₁, то предельной абсолютной погрешнос­тью числа х ₁можно считать сумму предельной абсолютной по­грешности числа х и погрешности округления.