Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Электрический ток в жидкостях и газах

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Тема 5

Работа и мощность электрического тока

Работа электрического тока на участке цепи определяется формулой

Для замкнутой цепи закон Ома имеет вид

где Е – э.д.с. генератора,

R – внешнее сопротивление,

r – внутреннее сопротивление генератора.

Полная мощность, выделяемая в цепи

Задача 43

Имеются три 110-вольтовых электрических лампочки, мощности которых равны Р₁=Р₂ =40 Вт и Р₃ =80 Вт. Как надо включить эти лампочки, чтобы они давали нормальный накал при напряжении сети U =220 В? Начертить схему. Найти токи I₁, I₂, I₃, текущие через эти лампочки, при нормальном накале.

Дано: Р₁=Р₂ =40 Вт Р₃ =80 Вт U₀ =220 B U =110 B	Решение: Сопротивление лампочек определим по формуле (1)
I₁, I₂, I₃ –?	Общее сопротивление двух параллельно соединен

ных лампочек с учетом того, что

Р₃=2Р₂,

будет равно

и R_экв=R₃.

Отсюда напряжение в цепи будет:

IR₃+Ir_экв=U₀.

I=const, т.к. соединение последовательное.

2U=U₀

напряжение на лампочках.

По закону Ома для участка цепи ток на лампочке I₃ будет равен

Перепишем данное выражение с использованием формулы (1)

Ток на лампочках Л1 и Л2, будет равным, т.к.

U₁=U₂ и R₁=R₂,

т.е. с использованием формулы (1) получаем, что

Вычисления:

Ответ: для нормального накала нити лампочки с предложенными эксплуатационными условиями токи на лампочках Л1, Л2, Л3 соответственно равны I₁=I₂ =0,365 A, I₃ =0,73 A.

Задача 44

В лаборатории, удаленной от генератора на расстояние
l = 100 м, включили электрический нагревательный прибор, потребляющий ток I =10 A. На сколько понизилось напряжение U на зажимах электрической лампочки, горящей в этой лаборатории, если сечение медных проводящих проводов S =5 мм²?

Дано: l =100 м I =10A S =5 мм²	Решение: Общая длина проводов в цепи равна 2l. Сопротивление проводов найдем из формулы (1)
U –?

На схеме в цепи сопротивление проводов обозначается резистором R_экв.пр _. До подсоединения электрического нагревательного прибора ток на резисторе R_экв.пр. и лампочке равен

I₁=I₂=I,

т.к. соединение последовательное. Напряжение на зажимах лампочки найдем из формулы:

(2)

где U₀ численно равно э.д.с. источника, т.к. внутреннее сопротивление r=0, отсюда U₀=const.

Рассмотрим второй случай, напряжение на зажимах лампочки найдем из формулы:

Отсюда

(3)

Найдем

вычтя почленно уравнения (2) и (3), получаем

С учетом формулы (1), получаем

Вычисления:

Ответ: напряжение на зажимах лампочки понизится на DU =6,8 В.

Задача 45

От батареи с э.д.с. Е =500 В требуется передать энергию на расстояние l =2,5 км. Потребляемая мощность Р =10 кВт. Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных подводящих проводов d =1,5 см.

Дано: Е =500 В l =2500 м d =0,015 м Р =10⁴ Вт	Решение: Общая длина проводов 2l. Сопротивление проводов найдем из формулы
DР –?	Силу тока в цепи найдем из формулы:

(2)

Минимальная потеря мощности DР в цепи может быть найдена из формулы

(3)

Подставляем (1) и (2) в (3), получаем

(4)

Площадь поперечного сечения проводника

(5)

где R – радиус сечения.

Подставим (5) в (4), получаем

Вычисления:

Ответ: минимальная потеря мощности в сети равна

Задача 46

Элемент с эдс Е =6В дает максимальный ток I =3 А. Найти наибольшее количество теплоты, которое может быть выделено на внешнем сопротивлении в единицу времени.

Дано: Е =6 В I =3 А	Решение: По закону Ома для полной цепи

ток максимален, когда R=0 (внешнее сопротивление).

(1)

Напряжение на зажимах источника, замкнутого проводником на сопротивление R, равно

(2)

Количество теплоты Q_t, выделенное во внешнем сопротивлении в единицу времени равно мощности во внешнем участке цепи

P=IU (3)

подставим (2) в (3), получаем

P(I) = P= I(E-Ir)=IE - I²r (4)

Для нахождения максимальной мощности во внешнем участке цепи необходимо найти производную выражения P=(I) по переменной I и приравнять полученное выражение к нулю.

P¢(I) = E-2Ir =0

E-2IrÞ (5)

При токе

(6)

мощность максимальна при R_общ=2r. Тогда R_внеш=r. Подставим (6) в (4) при R=r.

Получаем

Вычисления:

Ответ: наибольшее количество теплоты, которое может быть выделено на внешнем сопротивлении в единицу времени, составляет Дж/с.

Задача 47

На рисунке дана зависимость полезной мощности Р от тока I цепи. По данным этой кривой найти внутреннее сопротивление r и эдс Е элемента. Построить график зависимости от тока I в цепи кпд h элемента и падение потенциала U во внешней цепи.

Дано: I_max =5 A P_max =5 Вт	Решение: Во внешнем участке цепи выделяется мощность
r, E, h(I), U(I)-?	(1)

Для нахождения максимальной мощности найдем производную выражения (1) по переменной I и приравняем найденное выражение к нулю

P¢(I) = E-2Ir =0

E = 2Ir

При токе

(2)

т.е. мощность максимальна при R=r

Подставим полученное выражение в (1), отсюда

(3)

Из графика видно, что P_max= 5 Вт, а сила тока при этом
I_max = 5 A. Подставим эти значения в (2)и (3)

; ; , (4)

отсюда

(5)

Падение потенциала U во внешней цепи выражается формулой

U = E - Ir (6)

- график зависимости - прямая.

Подставим (5) и (4) в (6), получаем:

График зависимости U = U (I)

Из графика видно, что

1) при разомкнутой цепи (I=0) U=E

2) при токе в I=10 А падение потенциала U во внешней цепи равно U=0 В.

КПД элемента равен отношению мощности Р₁, выделяемой внешним участком электрической цепи (полезной мощности), к полной мощности, развиваемой источником,

По определению

P₁ = UI и P = EI.

Отсюда

Используем формулы (5) и (4), перепишем зависимость h(I)

График зависимости h = h(I)

Зависимость h(I) - линейная.

Из графика видно, что при R=0, т.е. внешнее сопротивление равно нулю, наступает короткое замыкание и КПД источника равен нулю.

Вычисления:

или 50%

Ответ: напряжения равны соответственно U₁=0 В, U₂=1 В, КПД источника соответственно равны h₁=0%, h₂=50%.

Задача 48

Эдс батареи Е =120 В, сопротивление R₃ =30 Ом, R₂ =60 Ом. Амперметр показывает ток I = 2 A. Найти мощность Р, выделяющуюся в сопротивлении R₁.

Дано: Е =120 В R₃ =30 Ом R₂ =60 Ом I =2 А	Решение: Мощность Р₁, выделяющуюся на сопротивлении R₁, определяем формулой P=UI (1) По закону Ома для участка цепи
Р =?	U₃=R₃I

т.к. R₁ и R₂ соединены параллельно, то

I₁ +I₂ = I (2)

По условию внутреннее сопротивление r=0 и тогда

U₁₂=E-U₃

U₁₂=E-R₃I (3)

Т.к. соединение сопротивлений R₁ и R₂ параллельное, то

U₁= U₂= U₁₂ (4)

По закону Ома для участка цепи

U₁=R₁I₁ (5)

U₂=R₂I₂. (6)

Отсюда

. (7)

Подставим (4) в (5), получаем:

. (8)

Подставим (6), (8) в (7), получим

Вычисления:

Ответ: мощность, выделяемая в сопротивлении R₁ _, составляет Р =60 Вт.

Задача 49

Две электрические лампочки с сопротивлениями R₁ =360 Ом и R₂ =240 Ом включены в сеть параллельно. Какая из лампочек потребляет большую мощность и во сколько раз?

Дано: R₁ =360 Ом R₂ =240 Ом	Решение: Мощность, потребляемую лампочкой, можно выразить через формулу
-?	,

так как лампочки включены параллельно, напряжение, приложенное к ним, одинаково

U₁ = U₂ = U.

Отсюда мощность потребляемая первой лампочкой:

(1)

второй лампочкой:

. (2)

Найдем отношение , разделив почленно формулу (1) и (2). Получаем

Вычисления:

Ответ: в 1,5 раза большую мощность потребляет лампочка с меньшим сопротивлением.

Задача 50

Какую мощность Р потребляет нагреватель электрического чайника, если объем V =1л воды закипает через время t =5 мин? Каково сопротивление R нагревателя, если напряжение в сети U =120 В? Начальная температура воды t₀ =13,5⁰C.

Дано: t₀ =13,5⁰C t =100⁰C t =5 мин U =120 В V =10^-3 м³ с =4190 Дж/кг·°С r= 10

Решение: Из курса термодинамики нам известно, что количество теплоты, которую надо затратить при нагревании тела массой m от температуры t₀ до температуры t, определяется формулой Q = mc(t - t₀), (1) c - удельная теплоемкость данного вещества. Согласно закона Джоуля-Ленца

P, R -?

(2)

Исходя из того, что выделение теплоты на нагревателе электрического чайника идет на увеличение температуры воды от t₀ до t, можно приравнять выражения (1) и (2), получаем

. (3)

Мощность, потребляемую чайником, можно записать в виде

. (4)

Подставим (4) в (3), получаем

(5)

Перепишем формулы (3) и (5) с учетом формулы, m=rV:

Вычисления:

Ответ: нагреватель электрического чайника потребляет мощность Р =1,2 кВт, а сопротивление R нагревателя равно R = 12 Ом.

Задача 51

Нагреватель электрического чайника имеет две секции. При включении одной из них вода в чайнике закипает через t₁ =15 мин, при включении другой – через t₂ =30 мин. Через какое время закипит вода в чайнике, если включить обе секции: а) последовательно; б) параллельно?

Дано: t₁ =15 мин t₂ =30 мин	Решение: Если участок цепи не содержит источников тока, то количество теплоты выделяющееся, на этом участке,
t_а, t_b –?	можно определить по формуле

где U - напряжение, подводимое к участку.

Количество теплоты, которое надо сообщить воде в чайнике, чтобы она закипела, одинаково независимо от включения секций. В формуле будут только две меняющиеся переменные: R и t, т.е. при последовательном и параллельном соединении секций формула (1) примет вид

и .

Приравняв отношения , полученные при различных подключениях секций, получим:

(2)

где R₁ и R₂ - сопротивления первой и второй соответственно соединенных секций;

R_{экв.посл.} - эквивалентное сопротивление двух последовательно соединенных секций;

R_{экв.парал.} - эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных секций.

1) Рассмотрим отношение

По определению

Отсюда

Из соотношений (2) найдем, что отношение , с учетом этого

2) Рассмотрим отношение

(3)

Зная, что R_{экв.посл.} = R₁ + R₂,

перепишем выражение (3)

Из соотношений (2) найдем, что отношение , с учетом этого

Вычисления:

Ответ: при последовательном и параллельном соединениях нагревателей время, необходимое для закипания, составляет соответственно t_а =45 мин, t_b =10 мин.

Тема 6

Правила Кирхгофа

Для разветвленных цепей имеют место два закона Кирхгофа:

первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

второй закон Кирхгофа - в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений потенциала на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме э.д.с., встречающихся в этом контуре:

При применении законов Кирхгофа надо руководствоваться следующими правилами:

на схеме произвольно указываются стрелками направления токов у соответствующих сопротивлений. Обходя контур в произвольном направлении, будем считать положительными те токи, направления которых совпадают с направлением обхода, и отрицательными те направления которых противоположны направлению обхода.

Положительными э.д.с. будем считать те э.д.с., которые повышают потенциал в направлении обхода, т.е. э.д.с. будет положительной, если при обходе придется идти от минуса к плюсу внутри генератора.

Напомним

В результате решения составленных уравнений определяемые величины могут получиться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно принятому.

Задача 52

Найти токи I_i в отдельных ветвях мостика Уинстона при условии, что через гальванометр идет ток I_r =0. Э.д.с. элемента Е =2,2 В. Сопротивления резисторов R_i =30 0м, R₂ =45 0м и R₃ =200 0м.

Дано: Е =2,2 В R₁ =30 0м R₂ =45 0м R₃ =200 0м I_r =0	Решение: Обозначим направление токов, выберем направление обхода всех контуров по часовой стрелки. По первому закону Кирхгофа составим уравнения для узла В и D, пользуясь условием, говорящем о том, что I_r =0:
I₁, I₂, I₃, I₄ –?	узел В:

I₁ - I₂ = 0 Þ I₁ = I₂ (1)

узел D:

I₃-I₄= 0 Þ I₃ = I₄ (2)

По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров BСDВ и АВDА.

Контур BСDВ:

I₂R₂ – I₄R₄= 0 (2¢)

Данное выражение получилось таким из условия, что

r = 0 (3)

Контур АВDА:

I₁R₁ - I₃R₃= 0 (4)

Контур АВСEFА:

(5)

Преобразуем выражение (4) и подставим формулу (5), получаем

I₁R₁ = I₃R₃

= I₃R₃ Þ =

Вычисления:

Ответ: токи в ветвях с сопротивлениями R₁ и R₂ равны I₁ = I₂ =26,7·l0^-3 А, токи в ветвях с сопротивлениями R₃ и R₄ равны I₃ = I₄ =4·l0^-3 А.

Задача 53

Э.д.с. элементов E₁ =2,l В и E₂ =l,9 В, сопротивления R₁ =45 0м, R₂ =10 0м и R₃ =10 0м. Найти токи I_i во всех участках цепи.

Дано: E₁ =2,l В Е₂ =1,9 В R₁ =45 0м R₂ =10 0м R₃ =10 0м	Решение: Обозначим направление токов как показано на рисунке. Направление обхода контура показано на рисунке. По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла С: -I₁ + I₃ + I₂ = 0 Þ I₁ = I₂ + I₃
I₁, I₂, I₃ –?

По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров АВСА и ACDA:

контур АВСА: I₃R₃ + I₁R₁ = E₁,

контур ACDA: I₁R₁ + I₂R₂ = E₂.

Из полученных выражений составим систему уравнений:

отсюда

Подставим полученное выражение в (1), получаем:

Ток, текущий в ветви с сопротивлением R₃, найдем из формулы (2), как

I₃ = I₁ - I₂.

Вычисления:

Ответ: токи в участках цепи с сопротивлениями R₁, R₂, R₃ соответственно равны I₁ =0,04 А, I₂ =0,01 А, I₃ =0,03 А.

Задача 54

Два элемента с одинаковыми э.д.с. E₁=E₂=2 В и внутренними сопротивлениями r₁ =l 0м и r₂ =2 0м замкнуты на внешнее сопротивление R. Через элемент с э.д.с. E₁ течет ток I₁ =l А. Найти сопротивление R и ток I₂, текущий через элемент с э.д.с. E₂. Какой ток I течет через сопротивление R?

Дано: E₁=E₂=2 В r₁ =l 0м r₂ =2 0м I₁ =l А	Решение: Обозначим направление токов как показано на рисунке, выберем направление обхода контура. По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла B.
R, I₂, I –?	Узел B:

(1)

По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров ABEFA и BCDEB.

Контур ABEFA:

I₁r₁+IR=E₁ (2)

Контур BCDEB: I₂r₂+IR=E₂.

Из ранее полученных выражений составим

систему уравнений:

Отсюда

(3)

Подставим выражение (3) в (1), получаем

(4)

Подставим выражение (4) в (2), получаем

Вычисления:

Ответ: внешнее сопротивление R равно R =0,66 0м, сила тока, текущего через элемент с э.д.с. Е₂ равна I₂ =0,5 А, сила тока, идущего через внешнее сопротивление R равна I =1,5 А.

Задача 55

Батареи имеют э.д.с. E₁ =110 В и Е₂ =220 В, сопротивления R₁ = R₂ =100 0м, R₃ =500 0м. Найти показания амперметра.

Дано: E₁ = 110 В Е₂ =220 В R₁=R₂ =100 Ом R₃ =500 Ом	Решение: Амперметр покажет величину тока, текущего через сопротивление R₁, т.е. ток I₁, т.к. амперметр и сопротивление R₁ соединены последовательно.
I₁ –?

Обозначим направление токов, выберем направления обходов контуров как показано на рисунке. По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла E:

По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров ABEFA и BCDEB:

контур ABEFA: I₁R₁+I₃ R₃=E₁,

контур BCDEB: I₂R₂+I₃R₃=E₂,

Из ранее полученных уравнений составим систему уравнений

(E₁ - I₁R₁ - I₁R₃) R₂ + + R₃E₁ - I₁R₁R₃ = E₂R₃

Отсюда

Вычисления:

Отрицательный знак у тока I₁ указывает на то, что направление тока нами было взято неправильно, направление тока будет от F к А.

Ответ: амперметр покажет силу тока, равную I₁ =0,4А.

Задача 56

Батареи имеют э.д.с. E₁ =2 В и E₂ =1 В, сопротивления R₁ =l кОм, R₂ =0,5 кОм и R₃ =0,2 кОм, сопротивление амперметра R_A =0,2 êÎì. Найти показания амперметра.

Дано: E₁=2 В Е₂ =1 В R₁ = 10³Ом R₂ =500 Ом R₃ =200 Ом r_a =200 Ом

Решение: Амперметр будет показывать величину тока, текущего через сопротивление r₃, т.к. сопротивления r₃ и r_a подключены последовательно, т.е. задача сводится к нахождению I₃. Обозначим направление токов и направления обходов контуров как показано на рисунке.

I_А –?

По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла Е:

I₂+I₃-I₁=0.

По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров АВЕFA и BCDEb,

Контур ABEFA: I₂R₂+I₁ R₁=E₁

Контур BCDEB: I₃R₃+IR₁+I₃ R_A=E₂

Используя ранее полученные уравнения, составим систему уравнений:

Составим матрицу из данной системы:

Подставим числовые значения и решим данную матрицу методом, используя метод Гаусса.

Вычисления:

Отсюда

1,1× I₃ = -0,0005

Отрицательный знак у тока I₃ указывает на то, что направление тока нами было выполнено неправильно и ток I₃ течет в обратном направлении.

Ответ: амперметр показывает величину силы тока, равную I =3,3·10^-4 A.

Задача 57

Батареи имеют э.д.с. E₁=E₂. Сопротивление R₁=R₂ =100 Ом. Сопротивление вольтметра R_V =150 Ом. Показания вольтметра U =l50 В. Найти э.д.с. батарей.

Дано: E₁ = Е₂ R₁ = R₂ =100 Ом R_V =150 Ом U =l50 В	Решение: Зная, что показание вольтметра есть произведение силы тока в этой цепи на его собственное сопротивление получаем, что (1)
E₁ = Е₂ –?	Обозначим направления токов как показано на

рисунке, выберем направления обхода контуров.

По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла Е:

(2)

Используя выражение (1), преобразуем (2), получаем, что

(3)

По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров.

ABEA: I₁R₁+IR_V=E₁,

BCEB: I₂R₂+IR_V=E₂,

Используя формулу (1), получаем, что

Подставим полученные формулы в (3), получаем

Используя условие задачи, говорящее о равенстве E₁=E₂, получаем

Вычисления:

Ответ: батареи, включенные в цепь, будут иметь э.д.с. равную E₁=E₂= 200 B.

Задача 58

Элементы имеют э.д.с. E₁=E₂ =l,5 В и внутренние сопротивления r₁=r₂ =0,5 Oм. Сопротивления R₁=R₂ =2 Oм и R₃ =1 0м. Сопротивление амперметра R_A =3 Oм. Найти показание амперметра.

Дано: E₁ = Е₂ = 1,5 B r₁=r₂ =0,5 Oм R₁ = R₂ =100 Ом R₃ =1 Ом R_A =3 Ом	Решение: Рассмотрим эквивалентную схему, в которой все сопротивления заменим на одно эквивалентное сопротивление и найдем силу тока I в такой цепи, такой же ток будет на резисторе R₁ и R₂ и на R_общ, т.к. они соединены
I_A –?	последовательно, где R_общ - эквивалентное

сопротивление резистора и амперметра, R₃ и R_A.

Из параллельности их соединения следует, что

(1)

где I₃ - сила тока на резисторе R₃, I_A - сила тока на амперметре. Начертим эквивалентную схему.

Обозначим направления токов и обхода контуров как показано на рисунке.

По первому правилу Кирхгофа напишем уравнения для узла С:

I₁+I₂-I=0 Þ I=I₁+I₂. (2)

По второму правилу Кирхгофа напишем уравнения для контуров abdeA и FCDEF.

ABDEA: I₁r₁+IR=E₁,

FCDEF: I₂r₂+IR=E₂.

Отсюда выразим I₁ и I₂ и подставим их выражения в (2), получаем:

отсюда

(3)

где R = R_экв.

Т.к. сопротивления R₃ и r_a соединены параллельно, то
U₃ = U_A, т.е.

(4)

Подставим (4) в (1), получаем:

(5)

Найдем R_экв

1) из параллельности соединения R₃ и r_a их

2) из последовательности соединения R₁, R₂ и R_общ их

(6)

Подставляя (6), (3) в (5), получаем

Вычисления:

Ответ: показание амперметра в данной ветви цепи будет I_A =75·10^-3А.

Задача 59

Элемент имеет э.д.с. Е =200 В. Сопротивление R₁ =2 кОм и R₂=3 кОм. Сопротивление вольтметров R_V1 =3 кОм и R_V2 =2 кОм. Найти показания вольтметров V₁ и V₂, если ключ К: а) разомкнут, б) замкнут. Задачу решить, применяя правила Кирхгофа.

Дано: R₁ =2000 Oм R₂ =3000 Oм R_V1 =3000 Oм R_V2 =2000 Oм Е =200 В	Решение: а) Рассмотрим случай, когда ключ К разомкнут. Показание вольтметра U складывается из произведения собственного сопротивления вольтметра на силу тока, протекающего по нему.
U₁,U₂ -?–?

Ток на первом и втором вольтметрах будет равен по величине, т.к. они соединены последовательно, следовательно, их можно заменить эквивалентным сопротивлением и найти ток на нем. Аналогично заменяем сопротивления R₁ и R₃ эквивалентным сопротивлением. Отсюда эквивалентная схема примет вид:

Здесь

(1)

Обозначим направления токов и обхода контуров как показано на рисунке.

По первому правилу Кирхгофа напишем уравнение для узла С:

По второму правилу Кирхгофа напишем уравнение для контура ABCFА.

ABCFA: I₁R_экв_V=E.

Или, с использованием (1), получаем:

(2)

Получив ток, проходящий через вольтметры, найдем их показания:

б) Рассмотрим второй случай, когда ключ К замкнут. Преобразуем данную схему в более удобную для рассмотренного случая:

Токи, текущие через R_экв1 и R_экв2, равны, т.к. они соединены последовательно.

При этом заменим параллельное соединение R₁ и R_V1 их эквивалентным сопротивлением R_экв₁ зная что показание вольтметра будет равно разности потенциалов на этом эквивалентном сопротивлении

(3)

Аналогичную замену произведением для параллельного соединения сопротивлений R₂ и R_V2, зная, что вольтметр будет показывать разность потенциалов на этом эквивалентном сопротивлении R_экв2

(4)