Уравнение движения идеальной жидкости (Эйлера) в форме Громека
Все преобразования выполним на первом уравнении:
Отсюда:
- система уравнений движения для и.ж. в форме Громека Рассмотрим далее движение, предполагая, что массовая сила имеет потенциал и течение баротропное. Первое предположение утверждает, что у массовых сил имеется потенциал, связанный соотношениями с массовыми силами:
U - потенциал массовых сил. Второе: баротропным считается течение, у которого ρ считается только функцией давления. Например, баротропными течением является: 1) ρ=const – газ или жидкость несжимаемы 2) движение среды изотермическое - 3) движение среды адиабатное - Условие баротропности предполагает, что существует некоторая функция Р, зависящая от давления, которая определяется выражением:
Функция Р связана с р и ρ соотношениями:
Подставим в систему уравнений Громека потенциал массовых сил и функцию Р:
- система уравнений Эйлера в форме Громека Достоинство системы заключается в том, что отдельно выделен ротор, который при определенных условиях может быть равен нулю и система значительно упрощается. Последний член равен нулю, если: 1) Сумма, стоящая во второй компоненте, имеет определенный физический смысл. В векторной форме система может быть записана в виде одного уравнения:
Теорема Бернулли
Рассмотрим стационарное баротропное течение под действием массовых сил, т.е. можно записать:
умножим уравнение скалярно на вектор скорости, тогда последний член равен нулю, т.к. идет скалярное перемножение перпендикулярных векторов.
выражение отражает теорему Бернулли: при стационарном баротропном течении идеальной жидкости под действием потенциальных массовых сил сумма кинетической энергии единицы объема, функции давления приведенного к единице массы потенциала массовых сил сохраняет постоянное значение вдоль любой линии тока. Если бы скалярно умножили исходное уравнение на вектор угловой скорости, то получили бы аналогичный результат вдоль вихревой линии. Если течение потенциальное, то
во всем потоке, т.е. трехчлен Бернулли сохраняет постоянное значение во всей области потенциального потока. Рассмотрим потенциальное течение несжимаемой жидкости под действием сил тяжести. Т.к. жидкость несжимаема то
У сил тяжести потенциал равен:
Все эти составляющие имеют размерность давления и называются напорами: При стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости полный напор, равный сумме В задачах, в которых можно пренебречь влиянием геометрического напора, уравнение Бернулли упрощается и приобретает вид: Уравнение (1) разделим на
все компоненты измеряются в метрах и называются высотами:
сохраняет постоянное значение вдоль любой линии тока (или вихревой линии), а при потенциальном течении во всем токе.
Основные понятия и определения потенциальных течений
Потенциальные течения – это течения, у которых
Записанные соотношения могут быть записаны и для любой другой функции, которая отличается от φ на константу: Рассмотрим стационарное плоское течение, то есть
Уравнение сплошности имеет вид:
Таким образом, потенциал U удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно является гармонической функцией. Введем в рассмотрение функцию ψ, связанную с составляющими U уравнениями:
Функция ψ удовлетворяет уравнению сплошности, т.к.
ψ – функция тока, она также определяется с точностью до постоянной. Уравнение В плоских течениях эквипотенциальные поверхности дают проекции на плоскость (х,у) в виде линии, поэтому часто в задачах рассматриваются эквипотенциальные линии которые перпендикулярны линии тока. В потенциальном потоке
Сравнение потенциала φ и ψ позволяет записать:
условие Коши-Римана.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|