 |
Взаимосвязь между дискриминантными переменными и дискриминантными функциями
|
|
|
|
Для оценки вклада отдельной переменной в значение дискриминантной функции целесообразно пользоваться стандартизованными коэффициентами дискриминантной функции. Стандартизованные коэффициенты можно рассчитать двумя путями:
·стандартизовать значения исходных переменных таким образом, чтобы их средние значения были равны нулю, а' дисперсии - единице;
·вычислить стандартизованные коэффициенты исходя из значений коэффициентов в нестандартной форме:
·
(28)
где р - общее число исходных переменных, т - число групп, 
- элементы матрицы ковариаций:
(29)
где i - номер наблюдения, j - номер переменной, k - номер класса, 
- количество объектов в k -мклассе.
Стандартизованные коэффициенты применяют в тех случаях, когда нужно определить, какая из используемых переменных вносит наибольший вклад в величину дискриминантной функции. В примере с двумя классами, рассмотренном выше, дискриминантная функция имела вид:
f = -185,03Х1 + 1,84Х2 + 4,92Хз.
Следовательно, наибольший вклад в величину дискриминантной функции вносит переменная X 1.
Определим значения стандартизованных коэффициентов и запишем новое значение дискриминантной функции:
(30)
где 
= 
Стандартизованные коэффициенты дискриминантной функции тоже показывают определяющее влияние первой переменной на величину дискриминантной функции.
Помимо определения вклада каждой исходной переменной в дискриминантную функцию, можно проанализировать и степень корреляционной зависимости между ними.
Для оценки тесноты связи между отдельными переменными и дискриминантными функциями служат коэффициенты корреляции, которые называются структурными коэффициентами. По величине структурных коэффициентов судят о связи между переменными и дискриминантными функциями. Структурные коэффициенты позволяют также в случае необходимости присвоить имя каждой функции. Они могут быть рассчитаны в целом по всей совокупности объектов (R) и для каждого класса отдельно (R 
).
|
|
|
Покажем на примере 1 расчет структурных коэффициентов в целом для трех классов. Исходные данные для расчета коэффициентов представлены в табл. 3. Вычисленные структурные коэффициенты (R 
f) имеют следующие значения:
Rx 1 f = 0,650 RX 2 f = -0,576 R ХЗ f = -0,506 Rx 4 f = -0,951
Rx 1 jl = -0,036 Rx 2 j 1 = 0,486 R хЗ jl = -0,211 Rx 4 j 1 = 0,217
Rx 1 f 2 = -0,728 Rx 2 f 2 = 0,878 R ХЗ f 2 = 0,511 Rx 4 f 2 = -0,998
Rx 1 fJ = -0,713 R х1 J З = 0,258 R хЗ fJ = -0,122 Rx 4 fJ = -0,998.
Таблица 3 – Исходные данные
| Номер | Х1 | Х 2 | ХЗ | Х 4 |
|
| наблюдения | |||||
| 1 | 0,50 | 94,0 | 8,50 | 6707 | -31973,089 |
| 2 | 0,67 | 75,4 | 8,79 | 5037 | -18122,238 |
| 3 | 0,68 | 85,2 | 9,10 | 3695 | -6930,930 |
| 4 | 0,55 | 98,8 | 8,47 | 6815 | -32812,109 |
| 5 | 1,52 | 81,5 | 4,95 | 3211 | -13434,229 |
| 6 | 1,20 | 93,8 | 6,95 | 2890 | -10812,723 |
| 7 | 1,46 | 86,5 | 4,70 | 2935 | -11139,514 |
| 8 | 1,70 | 80,0 | 4,50 | 3510 | -14272,295 |
| 9 | 1,65 | 85,0 | 4,80 | 2900 | -9573,076 |
| 10 | 1,49 | 78,5 | 4,10 | 2850 | -9348,104 |
Если рассматривать абсолютные значения структурных коэффициентов, видно, например, что наибольшая зависимость функций 
наблюдается от переменной 
, а функций 
и 
- от переменной 
.
Различные знаки у структурных коэффициентов можно интерпретировать следующим образом. Исходные переменные, имеющие различное направление связи с дискриминантной функцией, т.е. положительные или отрицательные структурные коэффициенты, будут ориентировать объекты в различных направлениях, удаляя или приближая их к центрам соответствующих классов. Из данного примера видно, что переменная X 1 и функция имеют коэффициент -0,036. Это значит, что при увеличении значений 
функция уменьшается. Допустим, все разности ( - 
)> о (l= 2,..., k) для i-го наблюдения, значит его следует отнести к первому классу. Если у классифицируемых объектов значения переменной будут возрастать, то значения функции для этих объектов будут уменьшаться, что приведет к отдалению их от центра первого класса. В конце концов достигнет у p -го объекта «критического» значения, которому будет соответствовать неравенство ( - )< 0, т.е. i-й объект уже не попадет в первый класс. Аналогичные рассуждения проводятся и для положительных структурных коэффициентов.
|
|
|
Заключение
Дискриминантный анализ так же, как и кластерный анализ, относится к методам многомерной классификации, но при этом базируется на иных предпосылках. Основное отличие заключается в том, что в ходе дискриминантного анализа новые кластеры не образуются, а формулируется правило, по которому новые единицы совокупности относятся к одному из уже существующих множеств (классов). Основанием для отнесения каждой единицы совокупности к определенному множеству служит величина дискриминантной функции, рассчитанная по соответствующим значениям дискриминантных переменных.
Основными проблемами дискриминантного анализа являются, во-первых, определение набора дискриминантных переменных, Bo-вторых, выбор вида дискриминантной функции. Существуют различные критерии последовательного отбора переменных, позволяющих получить наилучшее различение множеств. Можно также воспользоваться алгоритмом пошагового дискриминантного анализа, который в литературе подробно описан. После уточнения оптимального набора дискриминантных переменных исследователю предстоит решить вопрос о выборе вида дискриминантной функции, Т.е. выбрать вид разделяющей поверхности. Чаще всего на практике применяют линейный дискриминантный анализ. В этом случае дискриминантная функция представляет собой либо прямую, либо плоскость (гиперплоскость).
Линейная дискриминантная функция не всегда подходит в качестве описания разделяющей поверхности между множествами. Например, в тех случаях, когда различаемые множества не являются выпуклыми, правомерно предположить, что дискриминантная функция, приводящая к наименьшим ошибкам классификации, не может быть линейной.
Если множества, используемые в качестве обучающих выборок, близко расположены друг к другу, то возрастает вероятность ошибочной классификации новых объектов, особенно в тех случаях, когда классифицируемый объект сильно удален от центров обоих множеств. Складывается ситуация, при которой распознавание объекта затруднено. Одним из возможных выходов в таком случае является пересмотр набора дискриминантных переменных.
|
|
|
Дискриминантный анализ можно использовать как метод прогнозирования (предсказания) поведения наблюдаемых единиц статистической совокупности на основе имеющихся стереотипов поведения аналогичных объектов, входящих в состав объективно существующих или сформированных по определенному принципу множеств (обучающих выборок).
Список использованной литературы
1. Многомерный статистический анализ в экономике. Под редакцией В.Н. Тамашевича. Москва.1999г.
2. Эконометрика и эконометрическое прогнозирование. Мухамедиев Б.М. Алматы. 2007г.
3. Многомерные статистические методы. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Москва. 2003г.
4. Эконометрика. Под редакцией Елисеевой И.И. Москва. 2005г.
5. Эконометрика. Балдин С.В., Быстров О.Ф., Соколов М.М. Москва. 2004г.
|
|
|
