 |
II. Решить дифференциальное уравнение
|
|
|
|
Пример 1: 
Решение:
1. Выражаем 
, чтобы определить тип уравнения:
однородное (*)
(данное уравнение не является УРП, т.к. в правой части нет общих множителей в первом и во втором слагаемом).
2. Делаем замену: 
в (*)
- УРП
заменяем 
(т.к. 
)
в левую часть равенства собираем по переменной 
(т.к. слева вверху 
), в правую часть собираем по переменной 
интегрируем обе части
3. Возвращаемся к замене 
:
- общий интеграл.
4. Решаем задачу Коши (находим 
):
в общий интеграл
в общий интеграл
.
Пример 2: 
Решение:
1. Уравнение дано в дифференциальной форме, поэтому выписываем функции 
(коэффициент перед 
) и 
(коэффициент перед 
) и проверяем для них выполнение условия (2.1.):
однородное
2. Приводим уравнение к виду (2.2.):
чтобы выделить отношение 
в правой части, числитель и знаменатель дроби разделим на 
(т.е. на 
, т.к. 
)
(*).
2. Делаем замену:
в (*)
- УРП
заменяем (т.к. )
в левую часть равенства собираем по переменной (т.к. слева вверху ), в правую часть собираем по переменной
интегрируем обе части
Найдем значение интеграла 
:
.
Следовательно, общий интеграл имеет вид
.
3. Возвращаемся к замене :
.
№3
Тема: Линейные уравнения, уравнения Бернулли и их решение
I. Основные теоретические положения
| Общий вид | Название | Подстановка |
1. 
| линейное относительно 
|  в уравнение
|
2. 
| ур. Бернулли относительно
| |
3. 
| линейное относительно
|  в уравнение
|
4. 
| ур. Бернулли относительно
|
Метод решения: метод Бернулли
Суть: общее решение исходного уравнения ищется в виде произведения двух неизвестных функций и 
, причем, одна из них (как правило, функция ) содержит произвольную постоянную .
|
|
|
Замечание: при нахождении функций и часто используются основные свойства логарифмов:
1. 
|
2. 
|
3. 
|
4. 
|
II. Решить дифференциальное уравнение
Пример 1: 
Решение:
1. Выразим , чтобы определить тип уравнения:
- Бернулли (), 
(полученное уравнение не является УРП, т.к. в правой части после вынесения общего множителя в скобке останутся обе переменные, и не является однородным, т.к. второе слагаемое не содержит отношения ).
2. Пусть общее решение уравнения имеет вид (делаем подстановку):
в уравнение
Получим
Перенесем все слагаемые в левую часть равенства:
Сгруппируем первое и третье слагаемое:
(*)
Согласно методу скобку приравниваем к нулю:
 - УРП
Заменяем (т.к. ):
Выражаем функцию , используя свойства логарифмов:
зададим произвольным образом константу  :
 в (*)
| 
 - УРП
Заменяем  (т.к.  ):
Выражаем функцию :
|
3. Записываем общее решение исходного уравнения (возвращаемся к исходной переменной ):
.
Пример 2: 
Решение:
1. Перевернем уравнение, чтобы почленно поделить числитель на знаменатель в правой части:
т.к. 
, то
- линейное ()
2. Пусть общее решение уравнения имеет вид (делаем подстановку):
в уравнение
Получим
Перенесем все слагаемые в левую часть равенства:
Сгруппируем первое и третье слагаемое:
(*)
Согласно методу скобку приравниваем к нулю:
 - УРП
Заменяем  (т.к.  ):
Выражаем функцию , используя свойства логарифмов:
Зададим произвольным образом константу :
 в (*)
| 
 - УРП
Заменяем  (т.к.  ):
|
3. Записываем общее решение исходного уравнения (возвращаемся к исходной переменной ):
.
№4
Тема: Уравнения в полных дифференциалах
I. Основные теоретические положения
Определение. Дифференциальное уравнение
называется уравнением в полных дифференциалах (УПД), если функции и удовлетворяют тождеству
|
|
|
, (4.1.)
т.е. левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции 
.
В этом случае исходное уравнение можно записать в виде
,
общий интеграл которого имеет вид
Задача: найти функцию .
Алгоритм решения УПД:
1. Из исходного уравнения выписать функции и ;
2. Проверить выполнение условия (4.1.):
УПД
3. Составить систему и решить ее:
(4.2.)
4. Записать общий интеграл исходного уравнения:
|
|
|
