Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами




Определение. Дифференциальное уравнение вида

, (6.1.)

где - постоянные коэффициенты (числа), функции входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

 

Структура общего решения однородногоуравнения (6.1.):

,

где , образуют ФСР (фундаментальную систему решений).

 

Определение. Характеристическим уравнением для уравнения (6.1.) называется уравнение вида

(6.2.)

(получается из уравнения (8.1.) заменой производных на степени )

 

Пусть и – корни характеристического уравнения (6.2.). Если:

1) и – действительные и

ФСР: ,

. (6.3.)

2) и – действительные и

ФСР: ,

. (6.4.)

3) – комплексно сопряженные

ФСР: ,

. (6.5.)

 

2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Определение. Дифференциальное уравнение вида

, (6.6.)

где - постоянные коэффициенты (числа), , функции входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения неоднородного уравнения (6.6.):

,

где общее решение соответствующего однородного уравнения;

любое частное решение неоднородного уравнения.

 

Для нахождения общего решения соответствующего однородного уравнения достаточно составить характеристическое уравнение (6.2.) и использовать формулы (6.3.) – (6.5.).

Для нахождения любого частного решения неоднородного уравнения используется метод Лагранжа (общий метод).

Метод Лагранжа: ищем в таком же виде, что и , только и считаются не числами, а функциями от , т.е.

,

где от функций и требуют, чтобы они удовлетворяли условию

(6.7.)

Решаем систему относительно и :

подставляем в записываем .

II. Решить дифференциальное уравнение

 

Пример 1:

Решение:

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни

, (1 случай, формула (6.3.))

ФСР:

.

Пример 2:

Решение:

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни

(3 случай, , формула (6.5.))

ФСР:

.

 

Пример 3:

Задача:

 

1. :

- характеристическое уравнение

(2 случай, формула (6.4.))

ФСР:

 

2. : частное решение находим методом Лагранжа

а) Составляем систему (6.7.) и находим и :

(*)

Вычтем из первого уравнения системы (*) второе:

Подставив найденное значение в первое уравнение системы (*) получим:

.

б) Находим и :

.

Подставляем и в :

3. Записываем :

.

№ 7

Тема: Линейные неоднородные уравнения с постоянными

коэффициентами и правой частью специального вида

(метод неопределенных коэффициентов)

I. Основные теоретические положения

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

где - постоянные коэффициенты (числа), .

 

В тех случаях, когда правая часть уравнения имеет специальный вид (является квазиполиномом)

,

где и - многочлены степени и соответственно,

-характеристическое число квазиполинома,

частное решение неоднородного уравнения удобнее находить методом неопределенных коэффициентов (методом подбора).

Метод неопределенных коэффициентов: ищем в таком же виде, в каком представлена функция , только вместо известных коэффициентов в многочленах будут стоять неопределенные, которые находятся при подстановке в исходное дифференциальное уравнение составленной формулы для (см. таблицу7.1.)

Таблица 7.1.

Вид правой части Формула для
1.
2.
3. или
4.

 

Замечания:

1) если не является корнем характеристического уравнения ,

если – корень характеристического уравнения (повтор – раз)

 

2) Общий вид многочленов с неопределенными коэффициентами:

и т.д.

3) если правая часть исходного уравнения имеет вид , причем и относятся к разным случаям из таблицы (9.1.), то , где

- частное решение уравнения

,

- частное решение уравнения

.

 

Т.к. - решение, то при подстановке его в исходное уравнение получим тождество, в котором, приравнивая коэффициенты при одинаковых линейно независимых функциях слева и справа получим систему линейных уравнений, решив которую найдем коэффициенты.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...