Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Определение. Дифференциальное уравнение вида , (6.1.) где - постоянные коэффициенты (числа), функции входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Структура общего решения однородногоуравнения (6.1.): , где , образуют ФСР (фундаментальную систему решений).
Определение. Характеристическим уравнением для уравнения (6.1.) называется уравнение вида (6.2.) (получается из уравнения (8.1.) заменой производных на степени )
Пусть и – корни характеристического уравнения (6.2.). Если: 1) и – действительные и ФСР: , . (6.3.) 2) и – действительные и ФСР: , . (6.4.) 3) – комплексно сопряженные ФСР: , . (6.5.)
2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Определение. Дифференциальное уравнение вида , (6.6.) где - постоянные коэффициенты (числа), , функции входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Структура общего решения неоднородного уравнения (6.6.): , где общее решение соответствующего однородного уравнения; любое частное решение неоднородного уравнения.
Для нахождения общего решения соответствующего однородного уравнения достаточно составить характеристическое уравнение (6.2.) и использовать формулы (6.3.) – (6.5.). Для нахождения любого частного решения неоднородного уравнения используется метод Лагранжа (общий метод). Метод Лагранжа: ищем в таком же виде, что и , только и считаются не числами, а функциями от , т.е. , где от функций и требуют, чтобы они удовлетворяли условию
(6.7.) Решаем систему относительно и : подставляем в записываем . II. Решить дифференциальное уравнение
Пример 1: Решение: Составляем характеристическое уравнение и находим его корни , (1 случай, формула (6.3.)) ФСР: . Пример 2: Решение: Составляем характеристическое уравнение и находим его корни (3 случай, , формула (6.5.)) ФСР: .
Пример 3: Задача:
1. : - характеристическое уравнение (2 случай, формула (6.4.)) ФСР:
2. : частное решение находим методом Лагранжа а) Составляем систему (6.7.) и находим и :
(*) Вычтем из первого уравнения системы (*) второе: Подставив найденное значение в первое уравнение системы (*) получим: . б) Находим и :
. Подставляем и в : 3. Записываем : . № 7 Тема: Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (метод неопределенных коэффициентов) I. Основные теоретические положения Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами где - постоянные коэффициенты (числа), .
В тех случаях, когда правая часть уравнения имеет специальный вид (является квазиполиномом) , где и - многочлены степени и соответственно, -характеристическое число квазиполинома, частное решение неоднородного уравнения удобнее находить методом неопределенных коэффициентов (методом подбора). Метод неопределенных коэффициентов: ищем в таком же виде, в каком представлена функция , только вместо известных коэффициентов в многочленах будут стоять неопределенные, которые находятся при подстановке в исходное дифференциальное уравнение составленной формулы для (см. таблицу7.1.) Таблица 7.1.
Замечания: 1) если не является корнем характеристического уравнения ,
если – корень характеристического уравнения (повтор – раз)
2) Общий вид многочленов с неопределенными коэффициентами: и т.д. 3) если правая часть исходного уравнения имеет вид , причем и относятся к разным случаям из таблицы (9.1.), то , где - частное решение уравнения , - частное решение уравнения .
Т.к. - решение, то при подстановке его в исходное уравнение получим тождество, в котором, приравнивая коэффициенты при одинаковых линейно независимых функциях слева и справа получим систему линейных уравнений, решив которую найдем коэффициенты.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|