 |
2.5.1. Использование метода понижения порядка производной для составления схемы моделирования.
|
|
|
|
Разрешим относительно старших производных:
Формируем левую часть уравнения, начиная с суммирующего блока.
Переменные 
считаем условно известными 
получаем 
(со знаком «минус», поскольку каждый этап преобразования осуществляется инвертирующим ОУ)
Формируем правую часть путём непосредственного интегрирования – получаем последовательно 
.
Замыкаем выходы блоков на соответствующие входы с учётом знака, в случае необходимости вводим инверторы.
| ∑ |
| y |
| –x |
|
| b/a2 |
| a0/a2 |
| a1/a2 |
|
|
|
|
| ∫ |
| ∫ |
Поскольку в линейной системе действует принцип суперпозиции, операции суммирования и интегрирования можно совместить, в результате схема упрощается
| y |
| –x |
|
|
| b/a2 |
| a0/a2 |
| a1/a2 |
|
|
|
|
| ∫ |
| ∫ |
Схема готова – можно переходить к расчёту.
Выбор масштабных коэффициентов:
На основе 3-й системы электромеханических аналогий все переменные исходных уравнений представлены напряжениями в различных точках модели.
Масштабный коэффициент показывает, какое напряжение соответствует единице физической переменной: 
Для повышения точности решения задачи стремятся использовать всю шкалу возможных значений машинных переменных, поэтому масштаб стремятся выбирать из условия: 
Правильным выбором масштабных коэффициентов можно уменьшить разброс величин коэффициентов машинных уравнений, а, следовательно, повысить точность решения. Необходимо лишь не допускать выхода машинных переменных за границы допустимых значений.
ПРИМЕР:
начальные условия: 
Введём масштабные коэффициенты:
Разрешим относительно старших производных:
|
|
|
Для уменьшения разброса коэффициентов примем
.
Тогда: 
При этом если 
2. 5. 2. Выбор масштаба времени:
Обусловлен желаемым временем решения задачи с учётом ограничений, накладываемых частотными характеристиками решающих блоков, регистрирующих устройств, коммутирующих элементов, а также погрешностями интегрирующих блоков, обусловленных, например, утечками в конденсаторах и т. д.
Масштаб времени входит в машинные уравнения в виде множителей при производных, зависящих от порядка производных:
; 
; 
.
Стремление ускорить масштаб времени обусловливается как желанием быстрее получить результат, так и уменьшить погрешность от дрейфа. Однако ускорение ограничено возрастанием величин производных, что приводит к насыщению решающих блоков (нелинейный режим - ошибка)
Правильный выбор 
может способствовать сокращению разброса параметров параметров при реализации жёстких уравнений.
ПРИМЕР:
Перейдём к машинному уравнению:
Разрешаем относительно старшей производной
Пусть
;
тогда
Замена переменных:
Для решения уравнений, в которых независимая переменная не являются временем, осуществляют замену этой переменной на время путём подстановки. 
( 
)
и далее решают обычным способом как обычное дифференциальное уравнение временным аргументом.
2. 5. 3. Расчёт коэффициентов передачи решающих блоков:
После составления функциональных схем набора требуется определить коэффициенты передачи по входам решающих блоков. Порядок может быть следующий:
По функциональной схеме записать уравнения, связывающие машинные переменные входах и выходах решающих блоков.
Полученную систему уравнений разрешить относительно входных и выходных переменных моделируемой системы.
Машинные переменные заменить исходными с учётом масштабных коэффициентов.
Приравнивая коэффициенты при соответствующих производных исходных и полученных уравнений, получают систему уравнений, связывающую коэффициенты исходных уравнений с коэффициентами передачи решающих блоков.
|
|
|
ПРИМЕР:
Колебательное звено: 
Уравнение в операторном виде:
Для функциональной схемы:
Подставляем: 
Поскольку число уравнений меньше числа неизвестных коэффициентов, некоторые из них можно задавать из условия распределения коэффициентов по блокам в пределах максимально допустимых значений.
Общее правило: коэффициент 
исходного уравнения равен произведению коэффициента передачи контура, внутри которого определяется переменная, стоящая при определяемом коэффициенте, умноженному на 
, где 
- число интеграторов в контуре.
Коэффициент в правой части исходного уравнения равен произведению К передачи от места приложения воздействия до выхода системы, умноженному на отношение 
входных и выходных переменных и 
, где n – порядок дифференциального уравнения.
Начальные условия преобразуем в соответствием с масштабным соотношением, т. е. 
; 
; 
.
При программировании систем ДУ функциональные схемы строят отдельно для каждого уравнения и затем осуществляют необходимые связи.
ПРИМЕР: Моделирование движения ЛА в вертикальной плоскости.
Здесь
- тангаж
- траекторный угол
- угол атаки
- угол поворота руля высоты
Коэффициенты отражают свойства ЛА
- аэродинамическое демпфирование
- статическая устойчивость
- эффективность руля высоты
- маневренные возможности ЛА
Приведём к виду удобному для набора:
2. 5. 4. Воспроизведение дробно-рациональных передаточных функций
методом комбинирования производных
Преобразуем исходную ПФ
,
вводя новую переменную u:
. (1)
В результате получаем
,
в дифференциальной форме:
. (2)
Выражение (1) также можно записать в дифференциальной форме:
. (3)
Для составления структурной схемы набора необходимо сначала «набрать» уравнение (3) по методу понижения порядка производной, а затем образовать искомую переменную у в виде суммы производных от и с соответствующими коэффициентами. Значения производных 
получаются непосредственно с соответствующих выходов интеграторов при решении уравнения (3). Некоторое упрощение схемы набора может получиться, если в уравнении (2) исключить старшую производную u подстановкой её значения из уравнения (3).
|
|
|
В результате приходим к уравнениям
Функциональная схема реализации этих уравнений для т = п = 3приведена на рисунке. В общем случае для набора необходимо иметь п + 3 решающих блока. Для определения коэффициентов при наборе задачи не требуется выполнения трудоёмких вычислений.
∫
| ∫ |
| ∫ |
| ∫ |
| ∑ |
| x |
| –x |
| b3 |
| b3a2+b2 |
| –b3a0+b0 |
| –b3a1+b1 |
|
|
|
|
|
Функциональная схема реализации дифференциального уравнения,
составленная по методу комбинирования производных.
|
|
|
